最小生成树的运行时间？ （Prim 方法）

Question

我编写了一个使用 Prim 方法解决 MST 的代码。我读到这种实现（使用优先级队列）应该有 O(E + VlogV) = O(VlogV) 其中 E 是边数和 V 边数但是当我查看我的代码时它根本不那样。如果有人能帮我解决这个问题，我将不胜感激。

在我看来，运行时间是这样的：

while 循环需要 O(E) 次（直到我们遍历所有边） 在该循环中，我们从 Q 中提取一个元素，这需要 O(logE) 时间。 第二个内部循环需要 O(V) 时间（尽管我们不是每次都运行这个循环 很明显，它将运行 V 次，因为我们必须添加所有顶点）

我的结论是运行时间是：O( E(logE+V) ) = O( E*V )。

这是我的代码：

#define p_int pair < int, int >

int N, M; //N - nmb of vertices, M - nmb of edges
int graph[100][100] = { 0 }; //adj. matrix
bool in_tree[100] = { false }; //if a node if in the mst
priority_queue< p_int, vector < p_int >, greater < p_int > > Q; 
/*
keeps track of what is the smallest edge connecting a node in the mst tree and
a node outside the tree. First part of pair is the weight of the edge and the 
second is the node. We dont remember the parent node beaceuse we dont need it :-)
*/

int mst_prim()
{
 Q.push( make_pair( 0, 0 ) );

 int nconnected = 0;
 int mst_cost = 0;
 while( nconnected < N )
 {
      p_int node = Q.top(); Q.pop();

      if( in_tree[ node.second ] == false )
      {
           mst_cost += node.first;
           in_tree[ node.second ] = true;

           for( int i = 0; i < N; ++i )
                if( graph[ node.second ][i] > 0 && in_tree[i]== false )
                     Q.push( make_pair( graph[ node.second ][i], i ) );

           nconnected++;
      }
 }

 return mst_cost;
}

Answer 1

您可以使用邻接列表来加速您的解决方案（但不适用于密集图），但即便如此，如果没有斐波那契堆，您也不会得到 O(V log V)。

也许Kruskal algorithm 对您来说更容易理解。它没有优先级队列，您只需对一组边进行一次排序。基本上是这样的：

• 将所有边插入数组并按权重排序
• 遍历排序的边，对于连接节点 i 和 j 的每条边，检查 i 和 j 是否连接。如果是，则跳过边缘，否则将边缘添加到 MST。

唯一的问题是能够快速判断两个节点是否连接。为此，您使用 Union-Find 数据结构，如下所示：

int T[MAX_#_OF_NODES]

int getParent(int a)
{
  if (T[a]==-1)return a;
  return T[a]=getParent(T[a]);
}
void Unite(int a,int b)
{
  if (rand()&1)
     T[a]=b;
  else
     T[b]=a;
}

一开始只是把T初始化为全-1，然后每次想知道节点A和B是否连通，只要比较它们的父节点——如果相同，就连通（像这样@ 987654323@)。当您将边缘插入 MST 时，请确保使用 Unite(getParent(A),getParent(B)) 更新 Union-Find。

分析很简单，您对边缘进行排序并使用需要 O(1) 的 UF 进行迭代。所以 O(E logE + E ) 等于 O(E log E)。

就是这样;-)

Answer 2

我之前不必处理算法，但您实现的与Wikipedia 中解释的算法不匹配。那里的算法工作如下。

1. 但所有顶点都进入队列。 O(V)
2. 虽然队列不为空... O(V)
   1. 从队列中取出权重最小的边。 O(log(V))
   2. 更新相邻顶点的权重。 O(E / V)，这是相邻顶点的平均数。
   3. 重新建立队列结构。 O(log(V))

这给了

O(V) + O(V) * (O(log(V)) + O(V/E)) = O(V) + O(V) * O(log(V)) + O(V) * O(E / V) = O(V) + O(V * log(V)) + O(E) = O(V * log(V)) + O(E)

正是人们所期望的。