如果卡尔曼滤波器无法计算出稳定的卡尔曼增益，可能的原因是什么？

Question

我有一个关于卡尔曼滤波器的问题。我正在将卡尔曼滤波器用于状态空间模型，如下所示：

X(k+1) = A(k)x(k)+B(k)u(k)+w(k), w(k) ∼ N(0,Q)
Y(k) = C(K)x(k)+D(k)u(k)+v(k), v(k) ∼ N(0,R)

在每个采样时间更新状态空间矩阵(A(k),B(k),C(k),D(k))，但 Q 和 R 矩阵被认为是恒定的。卡尔曼增益(K(k))和协方差P矩阵(P(k))的计算公式如下：

K(k) = (P(k)*C(k)' )/(R + C(k)*P(k)*C(k)');
Pxx(k) = (eye(n)-K(k)*C(k))*P(k)*(eye(n)-K(k)*C (k))'+K(k)*R*K(k)';%Joseph form
P(k) = A(k)*Pxx(k)*A(k)' + Q; 

我面临的问题与(A(k)-K(k)*C(k)) 的稳定性有关。在某些采样时间，计算出的卡尔曼增益不能稳定(A(k)-K(k)*C(k)) 矩阵，(A(k)-K(k)*C(k)) 的特征值在单位圆之外。

你能帮我找出这个问题的原因吗？我期待卡尔曼滤波器为我提供使(A(k)-K(k)*C(k)) 矩阵在单位圆内的特征值稳定的增益。

Answer 1

当系统不可观察时会发生这种情况。检查可观察性矩阵的等级

O = [C(k)
     C(k)A(k)
     C(k)A(k)^2
     ...
     C(k)A(k)^(n-1)]

其中n 是状态空间的维度（即A(k) 是n X n 矩阵）。如果O的行秩小于n，那么你就有问题了。

在 matlab 中，O = obsv(A,C) 将计算可观察性矩阵，rank(O) 将给出其等级。

希望这会有所帮助。