带有openCv的Aruco标记，获取3d角坐标？

Question

我正在使用 opencv 3.2 检测打印的 Aruco 标记：

aruco::estimatePoseSingleMarkers(corners, markerLength, camMatrix, distCoeffs, rvecs,tvecs);

这会返回标记的平移和旋转向量。我需要的是标记每个角的 3d 坐标。

我知道标记长度，我可以做类似的事情

corner1 = tvecs[0] - markerlength /2;
corner2 = tvecs[0] + markerlength /2;

....

但是有更好的方法吗？还是现有的功能？ 总结一下，我有：

2d 正方形中心的 3d 点。

那个正方形的边长。

正方形的旋转值。

如何找到角的 3d 坐标？

Answer 1

首先，假设我们只有一个标记为side = 2 * half_side。

其次，aruco::detectMarker 返回相机在标记世界中的相对位置。因此，我假设您正在寻找相机世界中的角点坐标。

然后，在标记的空间：

     [ half_side ]      [     0     ]
E  = [     0     ], F = [ half_side ]
     [     0     ]      [     0     ]

正方形的中心O 的坐标为tvec（在相机世界中），标记rot_mat 的旋转垫由cv::Rodrigues(rvec,rot_mat) 计算得出。

现在，使用针孔camera model，凸轮世界中的点P与标记世界的坐标之间的关系为：

[P_x_cam]             [P_x_marker]
[P_y_cam] = rot_mat * [P_y_marker] + tvec
[P_z_cam]             [P_z_marker]    

例如，中心O，在标记世界中是[0,0,0]，在凸轮世界中是tvec。

所以，E 在 cam 的世界中的坐标是：

[E_x_cam]             [half_side]
|E_y_cam| = rot_mat * |    0    | + tvec
[E_z_cam]             [    0    ] 

神奇的是，它是rot_mat 的第一列乘以half_size 和tvec 的总和。相似地， F 的坐标是 rot_mat 的第二列乘以 half_size 和 tvec。

现在，可以计算角点，例如

C - O = (E - O) + (F - O), B - O = (E - O) - (F - O)

其中E-O 正好是rot_mat 的第一列乘以half_size。

考虑到所有这些，我们可以编写函数：

vector<Point3f> getCornersInCameraWorld(double side, Vec3d rvec, Vec3d tvec){

     double half_side = side/2;


     // compute rot_mat
     Mat rot_mat;
     Rodrigues(rvec, rot_mat);

     // transpose of rot_mat for easy columns extraction
     Mat rot_mat_t = rot_mat.t();

     // the two E-O and F-O vectors
     double * tmp = rot_mat_t.ptr<double>(0);
     Point3f camWorldE(tmp[0]*half_side,
                       tmp[1]*half_side,
                       tmp[2]*half_side);

     tmp = rot_mat_t.ptr<double>(1);
     Point3f camWorldF(tmp[0]*half_side,
                       tmp[1]*half_side,
                       tmp[2]*half_side);

     // convert tvec to point
     Point3f tvec_3f(tvec[0], tvec[1], tvec[2]);

     // return vector:
     vector<Point3f> ret(4,tvec_3f);

     ret[0] +=  camWorldE + camWorldF;
     ret[1] += -camWorldE + camWorldF;
     ret[2] += -camWorldE - camWorldF;
     ret[3] +=  camWorldE - camWorldF;

     return ret;
}

---

注 1：我讨厌 SO 没有 MathJax

注意 2：一定有一些我不知道的更快的实现。

Answer 2

我使用 rvec 和 tvec 为上述标记角的旋转编写了一个 python 实现，它是从 cv2.aruco.estimatePoseSingleMarkers() 返回的。感谢@Quang Hoang 的详细解释。

import numpy as np

# rotate a markers corners by rvec and translate by tvec if given
# input is the size of a marker.
# In the markerworld the 4 markercorners are at (x,y) = (+- markersize/2, +- markersize/2)
# returns the rotated and translated corners and the rotation matrix
def rotate_marker_corners(rvec, markersize, tvec = None):

    mhalf = markersize / 2.0
    # convert rot vector to rot matrix both do: markerworld -> cam-world
    mrv, jacobian = cv2.Rodrigues(rvec)

    #in markerworld the corners are all in the xy-plane so z is zero at first
    X = mhalf * mrv[:,0] #rotate the x = mhalf
    Y = mhalf * mrv[:,1] #rotate the y = mhalf
    minusX = X * (-1)
    minusY = Y * (-1)

    # calculate 4 corners of the marker in camworld. corners are enumerated clockwise
    markercorners = []
    markercorners.append(np.add(minusX, Y)) #was upper left in markerworld
    markercorners.append(np.add(X, Y)) #was upper right in markerworld
    markercorners.append(np.add( X, minusY)) #was lower right in markerworld
    markercorners.append(np.add(minusX, minusY)) #was lower left in markerworld
    # if tvec given, move all by tvec
    if tvec is not None:
        C = tvec #center of marker in camworld
        for i, mc in enumerate(markercorners):
            makercorners[i] = np.add(C,mc) #add tvec to each corner
    #print('Vec X, Y, C, dot(X,Y)', X,Y,C, np.dot(X,Y)) # just for debug
    markercorners = np.array(markercorners,dtype=np.float32) # type needed when used as input to cv2
    return markercorners, mrv

'''
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http://www.apache.org/licenses/LICENSE-2.0

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under the License is distributed on an "AS IS" BASIS, WITHOUT WARRANTIES OR 
CONDITIONS OF ANY KIND, either express or implied. See the License for the specific 
language governing permissions and limitations under the License.
'''

Answer 3

基于@Quang 的回答，用于将任意点转换为相机坐标的 C# 代码。当然它需要R 和t 向量，所以你需要一个标记来获取它们。

private Point3d GetWorldPoint(Point3d input, Vec3d rvec, Vec3d tvec)
{
    var rot_mat = new Mat();

    Cv2.Rodrigues(MatOfDouble.FromArray(rvec.Item0, rvec.Item1, rvec.Item2), rot_mat);

    var pointProject = (rot_mat * MatOfDouble.FromArray(input.X, input.Y, input.Z)).ToMat();
    return tvec + new Point3d(pointProject.Get<double>(0, 0), pointProject.Get<double>(0, 1), pointProject.Get<double>(0, 2));
}