对于霍夫曼代码，完整二叉树的优势是什么？答案

【问题标题】：What is the advantage of a full binary tree for Huffman code?对于霍夫曼代码，完整二叉树的优势是什么？
【发布时间】：2012-09-17 07:46:49
【问题描述】：

我正在研究用于对字符流进行位编码的 Huffman 代码，并读到最佳代码将由完整的二叉树表示，其中每个不同的字符由叶子表示，并且所有内部节点恰好包含两个子节点。

我想知道为什么全二叉树是这里的最佳选择？换句话说，全二叉树在这里有什么好处？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

这不是选择，而是等价。

最优霍夫曼码由有限状态机解码，其中

这相当于一棵搜索树

也有非最优霍夫曼码，它们具有不包含输出符号的停止状态/叶节点。这样的二叉树不会满。

【讨论】：

“每个州只有一个条目”是什么意思。您还可以提供一张图片，显示完整的二叉树满足霍夫曼代码解码的所有四个要求。
对于每个节点（除了起点），只有一条边通向它（即没有两个输入符号序列通向同一状态）。
二叉树总是满足前两个（“二叉树” -> 每个内部节点有两个孩子，“树” -> 无循环）。
第三个从第二个开始。如果一个内部节点有一个输出符号，那么你要么需要第三个输入符号来终止这里（例如摩尔斯电码中的暂停），要么你不能从后面的状态输出任何符号而不生成较早的符号（相当于在停止状态下生成两个输出符号的树。
第四个不是霍夫曼代码的要求——它是使霍夫曼代码“最佳”的原因。在最优代码中，位串要么不完整，要么生成输出符号。

【解决方案2】：

反证法：

假设树 T 不是一个完整的二叉树，它为给定的字符及其频率提供最佳的霍夫曼编码。由于 T 不是一棵完全二叉树，因此存在一个节点 N，它只有一个子 C。

让我们用C替换N来构造一个新的二叉树T'。与树T相比，C的叶子节点的深度在T'中减少了1。所以T'提供了比T更好的解决方案，这证明了T不是最优的。

  T                T'

  /\              /\
 .  N            .  C
.  /            .
. C             .

【讨论】：

【解决方案3】：

您问为什么要使用完整的二叉树。这实际上是三个问题。

如果您询问“完整”，那么对于任何正确生成的霍夫曼代码，它必须是完整的。

如果你问的是“二进制”，霍夫曼代码中遇到的每个位都有两种可能性，0 或 1，因此每个节点必须有两个分支。

但是，如果您询问的是“树”，则根本不需要将代码表示为树。与树相比，有许多表示不仅可以完整地表示代码，而且可以促进压缩流中更短的表示和更快的解码。

示例使用规范的霍夫曼代码，并将其简单地表示为每个位长度的符号计数，以及相应符号的列表。这在puff.c code 中使用。或者您可以生成一组表，分阶段一次解码多个位，在zlib's inflate 中使用。还有其他的。

【讨论】：