部分矩阵变换

Question

如果我有一个表示 2d 旋转、平移或缩放（或它们的某种组合）的 3x3 矩阵，是否有办法将其与常数或另一个矩阵相乘以计算部分变换矩阵。

例如，如果我知道矩阵是一个平移矩阵，我可以简单地将 m[0][2] 和 m[1][2] 乘以某个常数（例如 0.25）来创建一个 1/4（m）的平移矩阵。

是否有一种通用方法可以不受矩阵影响？如果没有，是否有单独的方法适用于列出的每种类型（旋转和缩放）。

Answer 1

这与OpenGL 3D transformations 同源。所以是的，只需省略 z 行/列，您就可以用 3x3 矩阵乘积表示 2D 平移、旋转和缩放。

例如：

翻译：

|1  0  Tx| |x|   | x+Tx | 
|0  1  Ty|*|y| = | y+Ty |
|0  0  1 | |1|   |  1   |

轮换：

|cos(w) -sin(w) 0| |x|   | x*cos(w)-y*sin(w) |
|sin(w)  cos(w) 0|*|y| = | x*sin(w)+y*cos(w) |
|  0     0      1| |1|   |         1         |

规模：

|Sx 0  0| |x|   | Sx*x |
|0  Sy 0|*|y| = | Sy*y |
|0  0  1| |1|   |   1  |

如果您想组合更多的转换，可以应用更多的转换。假设您有一个缩放操作，S 和一个翻译，T。

现在给定一个向量 v0，您可以对其进行缩放：v1=S * v0

你可以翻译一下：

v2=T * v1

即：

v2=T * S * v0

T * S是复合变换

1. 缩放矢量
2. 翻译一下

现在让我们想想以相反顺序执行的转换是什么：S * T

1. 翻译向量
2. 缩放它

请注意，现在缩放也会缩放转换后的坐标 - 与第一种情况不同。

现在您要求的是转换操作而不是向量的操作。我会尝试这样做：获取向量 v3:

1. 执行倒刻度操作
2. 平移反向缩放向量
3. 缩放它

这些将产生原始比例的向量，即“缩放平移”的平移。这通常写成：

v3 = S^-1 * T * S * v

其中S^-1是逆矩阵（S^-1 * S = I，单位矩阵）执行相反的操作。

S^-1 * T * S 是您正在寻找的转换。方法很通用。