为抽象队列数据结构创建潜在函数以显示恒定摊销时间复杂度

Question

考虑一个名为 MaxQueue，Q 的队列的变体，它具有以下操作：

dequeue(Q)：移除并返回Q的第一个元素

enqueue(Q, s)：将整数 s 追加到 Q 的末尾

ma​​ximum(Q)：返回Q中最大的整数（但不删除）

MaxQueue 数据结构还包含一个称为“后缀最大值”的序列。如果 x 之后出现的所有元素的值都较小，则元素 x 是序列中的“后缀最大值”。

MaxQueue 使用单链表来表示序列，并带有指向队列前后的附加指针，并具有后缀最大值的双向链表（它们的排列顺序与它们在队列中的顺序相同）序列）。

有关示例，请参见此链接：https://ibb.co/f2KBtHN

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问题：证明这三个操作的摊销时间复杂度都是O(1)。 （根据序列中后缀最大值的个数定义一个势函数。

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我真的不知道如何开始这个问题。我知道潜在的函数往往是 an + bm 的形式，其中 a 和 b 是常数，n 和 m 是您根据问题设置的变量。提示建议基于序列中后缀最大值的数量，我认为这些数量应该反映在这些变量中，但我不确定如何。

Answer 1

潜在函数是根据数据结构的状态计算出来的函数，该函数从有界开始且永远不会变为负数。

对于任何此类函数，对于每个操作，对于任何常数 K，amortized_cost = O(real_cost + K*change_in_potential)

之所以有效，是因为势函数不能为负数，其初始值的界限限制了势能所有变化之和的负数。最终，在许多操作中，实际成本将占主导地位。

因此，如果您想证明所有操作的 O(1) 界限，您的潜在功能必须：

1. 在成本不变的操作过程中最多增加一个不变的数量；和
2. 在成本 c > O(1) 的任何操作期​​间减少 Ω(c)。

因此，请查看您的操作，并找到状态的某些函数，该函数不能为负数，在恒定时间之外随着您所做的每个工作单元减少，否则在每个操作中仅以恒定量增加。

我想您会发现，您所做的每个“额外工作”单元都会减少后缀最大值序列的长度，并且每次操作只能增加一项。因此后缀最大值序列的长度是一个可行的势函数。