将元素插入此结构的摊销时间复杂度是多少？

Question

假设您使用数组实现了一个堆，并且每次数组已满时，您将其复制到一个其大小翻倍的数组中。将元素插入堆的摊销时间复杂度（最坏情况下）是多少？

我认为我们有T(n) = n * n（这是最坏情况下一系列 n 操作的总成本的上限），然后根据一个公式的摊销复杂度是T(n) / n = n^n / n = n。

但我认为这是非常错误的，因为直觉很清楚我应该得到log(n)或更低......那么我应该如何计算呢？

Answer 1

想象一下，您将 n 个元素插入以这种方式表示的堆中。您需要考虑两种不同的成本来源：

1. 堆操作的成本，忽略底层数组大小调整。
2. 数组调整大小的成本，忽略了总体堆操作。

(1) 的成本在 n 个总操作中是 O(n log n)，因为每次堆插入都需要时间 O(log n)。

对于 (2) 的成本，请注意将数组大小加倍所做的工作与数组加倍时的大小成正比。这意味着您将执行 1 个工作单元将数组的大小从 1 翻倍，将 2 个工作单元将数组的大小从 2 翻倍，将 4 个工作单元将数组的大小从 4 翻倍，等等。这意味着总完成的工作是

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + 2^{1 + log n} ≤ 4n - 1 = O(n)

这个数学使用了这样一个事实，即在数组达到大小 n 之前，您最多只能将数组加倍 1 + log n 次，并且 1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k = 2^k+1 - 1。这意味着在所有 n 次插入中，您执行 O(n) 工作会使数组加倍。

总体而言，跨 n 次操作完成的总工作量为 O(n log n)，因此每次操作的摊销成本为 O(log n)。