高斯消除 Matlab 代码中的失败次数答案

【问题标题】：Number of flops in Gaussian Elimination Matlab code高斯消除 Matlab 代码中的失败次数
【发布时间】：2013-10-12 23:19:00
【问题描述】：

我很难理解为什么这个 Matlab 代码在不使用 LU 分解进行旋转的情况下执行高斯消除需要(2/3) * n^3 flops。（FLOPs：浮点运算和not FLOPS：每秒浮点运算）

function x = GaussianElimination(A,b)

n = length(b);
for k = 1:n-1
    for i = k+1:n
        mult = A(i,k)/A(k,k);
        A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n)-mult*A(k,k+1:n);
        b(i) = b(i) - mult*b(k);
    end
end

x = zeros(n,1);
x(n) = b(n)/A(n,n);

for k = n-1:-1:1
    x(k) = (b(k) - A(k,k+1:n)*x(k+1:n))/A(k,k);
end

end

如果有人能向我解释从 k+1 开始的嵌套循环如何计算失败次数，我将不胜感激。

PS：这里我不是在谈论算法复杂度。

【问题讨论】：

你说的是算法复杂度吗？我对“flops”一词的理解是“Floating point Operations Per Second”的首字母缩写词，通常用megaflops、gigaflops、teraflops等表示。但在这里你似乎在询问算法的复杂性我从未见过用“翻牌”表达。 ???
不，触发器 = 浮点运算。这就是为什么它让我感到困惑，因为它与算法复杂度不同。
很明显，计算机科学指令已经过去了，我的知识不再有用。祝你好运。
经过一些额外的搜索，结果发现 FLOPs 和 FLOPS 是两个不同的首字母缩写词，所以我更新了我的问题。
是的，FLOPS 是浮点运算的次数。请参阅 MathWorks 创始人 Cleve Moler 的 this old post 底部。在 JIT 加速下，今天所说的更加真实。问题是您是否要计算计算机执行的真实失败次数，或人类手动执行算法（如高斯消元法）所使用的次数

标签： matlab time-complexity linear-algebra linear-equation flops

【解决方案1】：

我终于自己弄明白了。

FLOPs 的计算与算法复杂度略有不同，因为低阶项仍然被忽略，但最高阶项前面的系数确实很重要。

在这个具体的例子中，由于我们忽略了低阶项，所以我们只查看三重嵌套循环中的+, -, *, / 操作，而忽略算法其余部分中的其他浮点操作。即以下行

    A(i,k+1:n) = A(i,k+1:n)-mult*A(k,k+1:n);

第一个循环从 1 运行到 n
第二个循环从 k 运行到 n
第三个循环从 k 运行到 n（在 Matlab 代码中隐含使用 :）

因此，这条线几乎运行了n^3 次，恰好是n*n + (n-1)*(n-1) + ... + 2*2 + 1*1 次，这相当于忽略低阶项时(1/3)*n^3 flops。

但是，该行有两个浮点运算：- 运算和 * 运算。

因此，这给出了(2/3)*n^3。

【讨论】：