三角形网格的四面体方向

Question

我有 2 个三角形和顶点 p0、p1、p2、p3。这两个三角形共享一条边。从这两个三角形中，我想制作一个由 4 个顶点给出的四面体。我使用的库要求“应给出 4 个顶点，以便在从外部查看时，定义图形中四面体面的四个顶点三元组以逆时针顺序出现”。假设两个三角形之一是 p0、p1、p2，我将法线计算为 (p1-p0) (cross) (p2-p0)。有人可以告诉我一种方法来确保满足这个条件吗？

Answer 1

简答：

条件是p3必须在(p0, p1, p2)确定的平面的正确一侧。

因此，在计算了该平面的法线之后，您需要确定从（例如）p0 到 p3 的向量是指向法线的相同方向还是相反方向，通过取点产品dot(normal, p3-p0).

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从数学上讲：

您需要找到由四个点的齐次坐标形成的 4x4 矩阵的行列式。行列式的符号决定是否满足条件；适当的符号取决于使用的确切约定，但理想情况下应该是正数：

require:
  0 < det(p0, p1, p2, p3)

  == det [ p0.x p0.y p0.z 1 ]
         [ p1.x p1.y p1.z 1 ]
         [ p2.x p2.y p2.z 1 ]
         [ p3.x p3.y p3.z 1 ]

如果一组特定的有序点具有负行列式，您可以通过交换任意两个点来修复它（这将使行列式取反）：

e.g., swapping p0 and p2:

det(p0, p1, p2, p3) = - det(p2, p1, p0, p3)
     ^       ^               ^       ^

或者，更一般地说，在四个顶点的even and odd permutations 之间切换。

如果行列式为零，则四个点共面，不能这样固定。

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最后是代码：

使用 3-d 矢量数学计算此行列式的相对简单的方法：

let:  v1 = p1 - p0
      v2 = p2 - p0
      v3 = p3 - p0
      norm12 = cross(v1, v2)
   -> determinant = dot(norm12, v3)

最终行列式也称为 v1、v2 和 v3 的“三重乘积”。

请注意，我一直犹豫尝试从您的问题中解码确切的符号约定（即，您需要行列式是正数还是负数）：您提供的措辞和图表有点令人困惑。

不过，由于您拥有原始库及其文档，因此您最适合回答这个问题。作为最后的手段，您可以尝试经验方法：尝试两个标志，然后选择一个不会爆炸的...