如何找到最大欧拉子图？

Question

如何找到给定图的最大欧拉子图？ “最大”是指具有最大数量的边、顶点或两者的子图。我的想法是找到循环空间的基础并以适当的方式组合基础循环，但我不知道该怎么做（这是否是一个好主意）。

UPD。源图已连接。

Answer 1

一些想法。图是欧拉图，当且仅当它是连通的（具有可能的孤立顶点）并且所有顶点的度数相等。

通过删除奇数度顶点对之间的（最短）路径来满足第二个标准是“容易的”。

连通性是有问题的，因为删除边会产生不连通的图。

一个例子表明“简单”（贪婪）解决方案不容易产生。通过将每条边分成两条（或更多条）边来修改完整图 K5。取两个经过修改的 K5 图，并从每个图中取两个顶点（第一个的 A、B 和第二个的 C、D）。连接 A-C 和 B-D。贪心方法会移除这些添加的边缘，因为它们是最短路径。随着该图变得不连接。解决方案是删除路径 A-B 和 C-D。

在我看来，算法应该在删除边的同时关注子图的连通性。当然算法应该保留奇度顶点的每个子集，其中没有对用于删除它们之间的路径，应该具有大于子集基数的连通性。

我会尝试（进行测试）使用带有优化的递归蛮力解决方案。 O 是奇数度顶点的列表。

def remove_edges(O, G):
  if O is empty:
    return solution
  for f in O:
    for t in O\{f}":
      G2 = G without path edges between (f,t)
      if G2 is unconnected:
        continue
      return remove_edges(O\{f,t}, G2)

优化可以是通过具有最短路径的顶点对集合 O 和 O{f} 进行排序。这可以通过在移除边之前从 O 中找到所有顶点对之间的最短长度来完成。这可以通过 BFS 从每个 O 顶点完成。