找到最大权重子图答案

【问题标题】：finding maximum weight subgraph找到最大权重子图
【发布时间】：2019-06-25 11:04:41
【问题描述】：

我的图表如下：

我需要找到一个最大权重子图。

问题如下：

有n个Vectex簇，每个Vextex簇中都有一些顶点。对于不同Vertex簇中的两个顶点，有一条加权边，在同一个Vextex簇中，顶点之间没有边。现在我想通过在每个子图中只找到一个顶点来找到最大权重子图顶点簇。并且总权重是通过将所选顶点之间的边的所有权重相加来计算的。我添加一张图片来解释问题。现在我知道如何通过 ILP 方法对这个问题进行建模。但是，我不知道如何通过近似算法来解决它以及如何获得它的近似比。

您能给出一些解决方案和建议吗？

非常感谢。如果此描述中有任何不清楚的地方，请随时询问。

【问题讨论】：

如果您可以将其建模为 ILP，您是否尝试放松一些变量/约束？这是一种直接的近似方法，甚至不需要考虑近似算法。
是的，我们可以通过将 x_u \in {0,1} 替换为 x_u
对于四舍五入，我会在属于同一集群的x_u 中选择最大值（将其设为 1，将 0 设为所有其他集群）。至于近似比率，我的直觉告诉我这个问题不会承认一个alpha-approx，对于任何alpha（现在我只能想到a1/k-approx，k 簇的数量，当使用完美匹配算法来选择候选人）。
你知道unique games conjecture 吗？我认为您可以通过证明如果存在多项式近似算法，那么它也可以证明 UGC 是错误的，从而以某种方式证明多项式近似算法的不存在。这绰绰有余，因为 UGC 是我们这个时代计算复杂性的重大猜想之一。还有一个非常了不起的问题，一半的计算机科学家认为这是真的，另一半认为这是错误的。
感谢您的回复。我可以理解前一部分，并且我同意没有 alpha-about。但我无法理解如何通过完美匹配获得 1/k-approx。完美匹配的顶点只能与一个顶点相连。但是在这个问题中，一个顶点需要与其他k-1个顶点相连。你能详细描述一下你的方法吗？谢谢！

标签： graph graph-algorithm approximation

【解决方案1】：

我认为对于任何alpha，您都找不到针对此问题的alpha-近似值。那是因为如果存在这样的近似值，那么它也将证明unique games conjecture(UGC) 是错误的。并且反驳（或证明）UGC 是一项相当大的壮举 :-)
（而且我实际上是 UGC 的信徒之一，所以我会说这是不可能的：p）

减少非常简单，因为任何 UGC 实例都可以描述为您的问题，边缘的权重为 0 或 1。

我可以看到多项式近似是1/k-approx（k 聚类数），使用最大权重完美匹配 (PM) 算法（我们假设聚类数是偶数，如果它是奇数只需添加一个带有 1 个顶点、0 个权重的“无用”）。

首先，您需要构建一个新图表。每个簇一个顶点。边u, v 的权重为e 从簇u 到簇v 的权重max w(e)。在此图上运行最大权重 PM。

然后，您可以为每个集群选择一个顶点，该顶点对应于 PM 中选择的边。
从 PM 中提取的解的总权重至少与 PM 的权重一样大（因为它包含 PM 的边缘 + 其他边缘）。

然后您可以得出结论，这是1/k 的近似值，因为如果问题的解决方案大于 PM 权重的k 倍以上，则 PM 不是最大的。

解释很短（lapidaire 我想说），如果有一个部分你不明白/不同意，请告诉我。

编辑：与 UGC 等效：解释了唯一标签封面。
想想一个 UGC 实例。然后，UGC 实例中的每个节点将由一个集群表示，集群中的节点与 UGC 实例中的颜色一样多。然后，如果它们不对应于 UGC 中的边缘，或者它对应于“错误的颜色匹配”，则创建权重为 0 的边缘。如果它们对应于良好的颜色匹配，则赋予其权重 1。
那么，如果你找到了问题实例的最优解，则意味着它对应于对应的 UGC 实例的最优解。
因此，如果 UGC 成立，则意味着近似您的问题是 NP-hard。

【讨论】：

感谢您如此详细的回答，非常有帮助！我已经了解如何获得 1/k 比率。但是我不太明白如何通过将权重设置为0或1来减少UGC问题。例如，在唯一标签颜色问题中，顶点的颜色应该是唯一的并且应该满足边缘约束。然而，在这个问题中，我们没有唯一的约束，这表明我们不关心每个顶点集群中的顶点类型，而只是找到一个最大权重。你能用更多的细节来描述它吗……我听不懂。非常感谢！
我已经编辑了答案以详细说明与 UGC 的对应关系。