打印双精度浮点数答案

【问题标题】：printing double precision floating point numbers打印双精度浮点数
【发布时间】：2018-01-23 20:43:54
【问题描述】：

我试图在字符串中表示双精度，为此我使用了 grisu 的算法，你可以在这里查看：https://www.cs.tufts.edu/~nr/cs257/archive/florian-loitsch/printf.pdf

我已经完成了，显然正在工作，当我与 printf 输出进行高精度比较时，我的问题是：

double u = 1, t = 3;
double co = u/t;
printf("%.100f", co);

输出

0.3333333333333333148296162562473909929394721984863281250000000000000000000000000000000000000000000000

使用 grisu 的算法，我可以获得以下结果：

3333333333333333e-16

什么是逻辑，因为您可以使用 double 获得的最大精度为 21 位，您可以在 PDF 中的“5.3 C 实现”（第 6 页）中阅读。那么如果我的最大精度是这个，或者哪个算法正在使用 printf 来获得这个精度，我怎么能得到其余的呢？

【问题讨论】：

您为什么认为 53 位二进制精度接近 21 位十进制精度？
你的意思是用 53 位尾数我不能得到这个？
log10(pow(2, 53)) 不是21。
@Ripi2 不，你确实不会得到垃圾。你得到 exact 值的 base-10 表示，就像它在 base-2 中一样。
@KeithThompson：C 2011 [N1570] 5.2.4.2.2 6：“浮点运算（+、-、*、/）和和是实现定义的，正如、和。实现可能会声明准确性未知。”

标签： c algorithm floating-point double ieee-754

【解决方案1】：

浮点运算的基本原则，尤其是在 IEEE 754 标准中规定的那样，是浮点数据准确地表示一个特定的数字。

对浮点数执行运算时，精确的数学结果可能无法以浮点格式表示。在这种情况下，该操作根据某些规则返回最接近的可表示数字（通常舍入到最接近偶数位，但有时朝+无穷大舍入、朝-无穷大舍入、朝零舍入或舍入到奇数）。因此，浮点运算中的运算可能会返回近似结果，但数字是精确的。

在您的示例中，将 1 除以 3 得到的浮点数正好是 0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125。这是因为数学结果正好是⅓，但是不能用二进制浮点数表示，而上面显示的数字是最接近的可以表示的值，所以是结果。

使用转换说明符%.100f 调用printf 请求将此二进制浮点值转换为十进制。这是一个数学运算，将二进制浮点值转换为十进制的数学结果将是“0.333333333333333314829616256247390992939472198486328125”。既然你告诉printf 使用 100 位数字，它就有足够的数字来产生准确的结果，所以它确实如此。

（这表明您正在使用高质量的printf 实现。某些实现无法正确执行此操作。）

您引用的 Florian Loitsch 的论文提供了将二进制浮点值转换为足够多的十进制数字的算法，以便将该值与相邻的浮点值区分开来。它通常不会生成足够的十进制数字来显示确切的值。例如，在两位数的 base-3 浮点中，我们可以表示数字 0、1/9、2/9、3/9、4/9 等。在这种情况下，如果值为 4/9 (.4444...)，则打印“.4”就足以将值与 .3333... 和 .5555... 区分开来，但它不能完全代表该值。 Loitsch 的算法只产生足够的数字来区分值，通常不足以显示精确的数学值。

（Loitsch 的论文还讨论了算法产生区分值的最短结果的频率 - 刚好足够的数字来完成这项工作，仅此而已。）

关于基础之间转换的经典论文是 David M. Gay 的Correctly Rounded Binary-Decimal and Decimal-Binary Conversions。

【讨论】：

@latiagertrutis：为什么你认为co 包含⅓？它包含将 1 除以 3 作为浮点运算的结果。由于二进制浮点不能表示⅓，因此结果不是⅓。相反，它是最接近的可表示值。
但是我的变量 'co' 是一个包含值 1/3 的双精度数，他的尾数是：10101010101010101010101010101010101010101010101010101，那么 printf 如何获得这个近似值？
为了避免错过理解，我知道有些数字不能用双精度的有限大小表示，我试图找到的是使用 printf 的方法。
@latiagertrutis：printf 打印的值不是近似值；它正是co 中的值。我不知道printf 使用的是哪种算法（我什至不知道您使用的是哪种printf——Apple 的？GCC 自带的？）。如果你想要一种算法来进行这种转换，请搜索 Gay 的论文。似乎有一个副本here。
您应该阅读 Loitsch 的文章，以及 Marc Andrysco、Ranjit Jhala、Sorin Lerner 的“打印浮点数：更快、始终正确的方法”。首先，这比猜测它们要好，其次，它们提供了确切的转换，无论好坏，这是某些编程语言转换为十进制功能的核心。 ideone.com/Mw09aj

【解决方案2】：

[that] printf 的输出是错误的精度，从某种意义上说，它告诉您二进制数在以十进制形式呈现时的精确值，就好像该二进制数最后有无限数量的 0 位一样，当我们知道这个数字最初可能以十进制开头时。

【讨论】：

(a) 精度不为假； IEEE 754 清楚地表明浮点数据恰好代表一个特定数字（除非它是 NaN），并且printf 已正确显示该数字。 (b) 关于 1 或 3 或 1/3 没有什么是特别小数的；这些在基数 4、7、16 或 233 中是相同的。并且 ⅓ 不能用十进制浮点表示，因此在某些方面假设值应该是十进制是不正确的。 IEEE 754 的原则很好：尽可能地保留值。这意味着在询问时显示所有数字，而不是任意截断小数。