在 C# 整数算术中，a/b/c 是否总是等于 a/(b*c)？答案

【问题标题】：In C# integer arithmetic, does a/b/c always equal a/(b*c)?在 C# 整数算术中，a/b/c 是否总是等于 a/(b*c)？
【发布时间】：2013-05-26 03:04:23
【问题描述】：

令 a、b 和 c 为非大正整数。 a/b/c 是否总是等于 a/(b * c) 与 C# 整数算术？对我来说，在 C# 中它看起来像：

int a = 5126, b = 76, c = 14;
int x1 = a / b / c;
int x2 = a / (b * c);

所以我的问题是：x1 == x2 是否适用于所有 a、b 和 c？

【问题讨论】：

这是一道数学题，不是编程题。你能解释一下这个问题的编程特定部分是什么吗？
@Oded 在任何有理数的范围内，当然，但这具体指的是整数算术（在 C# 中）。 IMO 使其与编程相关。也许 a/b/c == a/(b*c) 的规则适用于整数运算，也许它只适用于有理数运算。
这是一个关于 C# 的完全合理的问题，而且很容易回答。
@Oded 这是一个关于计算机算术以及它的行为是否与纯数学相同的问题。它不应该被关闭。
我对为什么（或是否）的数学证明非常感兴趣，忽略溢出，两者实际上是等价的，但我还没有设法将一个放在一起。跨度>

标签： c# math integer integer-arithmetic

【解决方案1】：

让\ 表示整数除法（两个ints 之间的C# / 运算符）并让/ 表示通常的数学除法。那么，如果x,y,z 是正整数并且我们忽略溢出，

(x \ y) \ z
    = floor(floor(x / y) / z)      [1]
    = floor((x / y) / z)           [2]
    = floor(x / (y * z))
    = x \ (y * z)

在哪里

a \ b = floor(a / b)

上面从[1] 行跳转到[2] 行解释如下。假设您有两个整数a 和b 和一个小数f 在[0, 1) 范围内。一看就明白了

floor(a / b) = floor((a + f) / b)  [3]

如果在[1] 行中您识别出a = floor(x / y)、f = (x / y) - floor(x / y) 和b = z，则[3] 意味着[1] 和[2] 相等。

您可以将此证明推广到负整数（仍然忽略溢出），但为了简单起见，我将把它留给读者。

关于 overflow 的问题 - 请参阅 Eric Lippert 的回答以获得很好的解释！他还在his blog post 中采取了更严格的方法并回答，如果你觉得我太随意了，你应该研究一下。

【讨论】：

哈，这就是我想要的:)
我喜欢你为此使用 \ 和 /。让事情变得更加清晰。
@JustinMorgan 这个符号实际上用在其他一些编程语言中（虽然我现在不记得是哪些）。
@TimothyShields VB.net 可以。
我认为该说法是正确的，但您的证明似乎缺少关键步骤。我可能误解了您对第 2 行 => 第 3 行的理由。我解释它的方式是 floor(x / y) - (x / y) 很小，z >= 1 所以取其中的 floor 为 0，我们可以忽略它。这实际上并没有遵循，因为它实际上是 floor() 中的一个加数（即考虑 floor(1/2) 与 floor(1/2 + 1/2)）。

【解决方案2】：

我非常喜欢这个问题，所以我把它作为my blog on June 4th, 2013 的主题。谢谢你的好问题！

大案子很容易找到。例如：

a = 1073741823; 
b = 134217727;
c = 134217727;

因为b * c 溢出为负数。

我要补充一点，在 检查算术 中，a / (b * c) 和 (a / b) / c 之间的区别可能是正常运行的程序和崩溃的程序之间的区别。如果b 和c 的乘积超出了整数的范围，则前者将在检查上下文中崩溃。

对于小的正整数，比如说，小到可以放入一个短整数，应该保持恒等式。

Timothy Shields 刚刚发布了一个证明；我在这里提出一个替代证明。假设这里所有的数字都是非负整数并且没有任何操作溢出。

x / y 的整数除法找到值q 使得q * y + r == x，其中0 <= r < y。

所以除法a / (b * c) 找到值q1 使得

q1 * b * c + r1 == a

在哪里0 <= r1 < b * c

除法( a / b ) / c首先找到qt这样的值

qt * b + r3 == a

然后找到值q2 这样

q2 * c + r2 == qt

所以将其替换为qt，我们得到：

q2 * b * c + b * r2 + r3 == a

0 <= r2 < c 和 0 <= r3 < b 的位置。

两个相等的东西彼此相等，所以我们有

q1 * b * c + r1 == q2 * b * c + b * r2 + r3

假设q1 == q2 + x 是某个整数x。将其代入并求解x：

q2 * b * c + x * b * c + r1 = q2 * b * c + b * r2 + r3
x  = (b * r2 + r3 - r1) / (b * c)

在哪里

 0 <= r1 < b * c
 0 <= r2 < c
 0 <= r3 < b

x 可以大于零吗？不，我们有不等式：

 b * r2 + r3 - r1 <= b * r2 + r3 <= b * (c - 1) + r3 < b * (c - 1) + b == b * c

所以那个分数的分子总是小于b * c，所以x不能大于零。

x 可以小于零吗？不，通过类似的论点，留给读者。

因此整数x 为零，因此q1 == q2。

【讨论】：

@JoseRuiSantos 是的，但在这种情况下，x1 和 x2 操作都会同样崩溃
@JoseRuiSantos 这两种情况都不是吗？
vc 74 的回答已被删除，因此大多数人无法再看到您引用的示例。
没错，如果b 或c 为零，x1 和x2 都会崩溃。对于其他值，x1 表达式更好，因为这将避免x2 所具有的( b * c) 可能的整数溢出。
关于溢出和检查算术的有趣点，谢谢！

【解决方案3】：

计数器示例：INT_MIN / -1 / 2

【讨论】：

"设 a、b 和 c 为非大正整数。"
这是一个有趣的案例（即 -INT_MIN 是溢出）。谢谢！

【解决方案4】：

为了好玩，我会提供我自己的证明。这也忽略了溢出，不幸的是只处理正面，但我认为证明是干净和清晰的。

我们的目标是展示这一点

floor(floor(x/y)/z) = floor(x/y/z)

其中/ 是正常除法（在整个证明中）。

我们将a/b 的商和余数唯一表示为a = kb + r（我们的意思是k,r 是唯一的，并且还要注意|r| < |b|）。然后我们有：

(1) floor(x/y) = k => x = ky + r
(2) floor(floor(x/y)/r) = k1 => floor(x/y) = k1*z + r1
(3) floor(x/y/z) = k2 => x/y = k2*z + r2

所以我们的目标只是展示k1 == k2。我们有：

k1*z + r1 = floor(x/y) = k = (x-r)/y (from lines 1 and 2)
=> x/y - r/y = k1*z + r1 => x/y = k1*z + r1 + r/y

因此：

(4) x/y = k1*z + r1 + r/y (from above)
x/y = k2*z + r2 (from line 3)

现在从 (2) 中观察到 r1 是一个整数（因为 k1*z 根据定义是整数）和 r1 < z（也是根据定义）。此外，从（1）我们知道r < y => r/y < 1。现在考虑来自 (4) 的总和 r1 + r/y。声明是r1 + r/y < z，这从前面的声明中很清楚（因为0 <= r1 < z 和r1 是一个整数，所以我们有0 <= r1 <= z-1。因此0 <= r1 + r/y < z）。因此r1 + r/y = r2 定义为r2（否则x/y 将有两个余数，这与余数的定义相矛盾）。因此我们有：

x/y = k1*z + r2
x/y = k2*z + r2

我们得到了我们想要的结论，k1 = k2。

上述证明应该适用于否定，除了您需要检查额外案例的几个步骤......但我没有检查。

【讨论】：

【解决方案5】：

避免其他人注意到的溢出错误，它们总是匹配的。

假设a/b=q1，这意味着a=b*q1+r1，其中0<=r1<b。
现在假设a/b/c=q2，这意味着q1=c*q2+r2，其中0<=r2<c。
这意味着a=b(c*q2+r2)+r1=b*c*q2+br2+r1.
为了a/(b*c)=a/b/c=q2，我们需要有0<=b*r2+r1<b*c。
但是b*r2+r1<b*r2+b=b*(r2+1)<=b*c，根据需要，和两个操作匹配。

如果b 或c 为负数，这不起作用，但我也不知道在这种情况下整数除法是如何工作的。

【讨论】：

【解决方案6】：

如果b 和c 的绝对值低于sqrt(2^31)（约46 300），那么b * c 将永远不会溢出，则这些值将始终匹配。如果b * c 溢出，则可能会在checked 上下文中引发错误，或者您可能会在unchecked 上下文中获得不正确的值。

【讨论】：