曼德布罗集很快达到极限

Question

我正在计算 mandelbrot 集，能够使用 OpenGL 将其缩放并打印到屏幕上。

如您所知，mandelbrot 集由一个矩形（右上角和左下角）定义，每次我“放大”和“缩小”时，我都会通过将左下角移动到右上角来更改以下点侧和右上角点反之亦然。最终，这 2 个点应该彼此相遇并完成缩放过程。
根据许多 YOUTUBE 电影，我可以清楚地看到有些电影可以让您达到 1000 倍变焦。在我的程序中，我几乎无法达到 X6。在调试时我可以看到我的 2 点，它们定义了 mandelbrot 集相互到达(x1,y1) = (x2,y2)。
几件事：
(x1,y1) & (x2,y2) 被定义为浮点数。我应该使用 double 代替吗？ 我的 mandelbrot 由 (512X512) 点定义。够了吗？虽然我不确定它是否与问题有关。

我面临的另一个问题是 - 我将集合打印为高度图（3D 集合）。当每个 Y 分量代表某个点达到无穷大所需的迭代次数时。但是，每次我放大整个集合时，我的相机位置都会越来越高，最终我的相机被集合消耗掉了。有没有办法计算差异并将相机从集合中移开（相应地从缩放点移开？）

计算集合的代码：

double ratiox = instance->foundPointOnHost.x / ((instance->constVal[1][0] - instance->constVal[0][0]));;
            double ratioy = 1-instance->foundPointOnHost.z / ((instance->constVal[1][1] - instance->constVal[0][1]));;
            double xrange = instance->m_GraphConfig.xru-instance->m_GraphConfig.xld;
            double yrange = instance->m_GraphConfig.yru-instance->m_GraphConfig.yld;
            instance->m_GraphConfig.xld += 5*direction*0.005*ratiox*xrange;
            instance->m_GraphConfig.xru -= 5*direction*0.005*(1.-ratiox)*xrange;
            instance->m_GraphConfig.yld += 5*direction*0.005*(1.-ratioy)*yrange;
            instance->m_GraphConfig.yru -= 5*direction*0.005*ratioy*yrange;  

几件事：

instance->FoundPointOnHost = 我要放大的点。
instance->constVal = 包含集合的原始大小（开头等于 [xru,yru] [xld,yld]）
(xru,yru) = 集合的右上角 (xld,yld) = 集合的左下角点

谢谢！

Answer 1

是的，如果可以的话，您应该使用double 而不是float。

浮点数只有 24 位尾数，当以精度限制的值反复乘以产生的额外位时，就会丢失。

FWIW，我的 WebGL mandelbrot 生成器（由于 WebGL 限制为 float）确实管理了大约 5000 倍的缩放。

Answer 2

感谢您提供您的代码！ （+1 让事情变得清晰并包含所有相关信息的问题）。

这表明您的缩放理论是正确的。在每一步，xrange 和 yrange 将按一个常数因子 (0.975?) 缩放，并且窗口将向 foundPointOnHost 移动，在窗口中保持相同的相对位置（ratioX 和 ratioY） .这绝对是变焦背后的正确理论。但在实践中，由于浮点运算的工作方式，您实现缩放的方式会迅速累积舍入误差。

我的经验法则：

• 每次乘或除两个浮点数时，都有机会引入错误，其大小是结果的最后一位 ;
• 但是每次您加或减两个浮点数时，您都有机会引入一个错误，其大小是的最后一位最大的操作数。

工作示例。假设您正在放大 (0.5,0.3)，并且您已经放大，所以 xrange 和 yrange 大约是 0.001。假设您正在使用浮点数（23 位，精度约为 7 位小数）。在您的代码中，当您减去两个 x 值以重新计算 xrange 时，您将减去两个都接近 0.5 的数字，这意味着您在 xrange 中的错误高达 0.0000001 - 小数点后七位0.5 - 由于结果约为 0.001，因此您的 xrange 仅精确到小数点后四位。然后你缩放、比率，并将xrange 添加回窗口的边缘（现在大约是 0.00025），这又是大约 0.5，所以算术运算也只能精确到 0.0000001，并且窗口边缘本身与先前的调用不准确。显然，如果您使用双打，情况会更好，但同样，您的 xrange 每次循环都会丢失精度；当您达到 x6 缩放级别时，您可能已经失去了一切。

然后，“技巧”是减少加法和减法的数量（目前，您在每个缩放步骤中执行 6 次），并确保您的错误不会在每次迭代中累积。我建议如下：保留xrange 和yrange，并重新计算每一步的边缘：（ratioX 和ratioY 是不变的，您可能需要确定哪一个是ratio这是1-ratio :)

xrange *= 0.975;
xld = foundPointOnHost.x - ratioX * xrange;
xru = foundPointOnHost.x + (1-ratioX) * xrange;

y 也是如此。更好的是，计算xrange 使用本身不会在每次乘法时累积错误的操作：

// xrange = INITIAL_RANGE * SCALE_FACTOR^frame_number
xrange = exp ( log(INITIAL_RANGE) + frame_number*log(SCALE_FACTOR) );