为给定的正则表达式绘制最小 DFA

Question

绘制最小DFA 的直接简单方法是什么，它接受与给定Regular Expression(RE) 相同的语言。
我知道可以通过以下方式完成：

Regex ---to----► NFA ---to-----► DFA ---to-----► minimized DFA

但是有什么捷径吗？喜欢(a+b)*ab

Answer 1

DFA 的正则表达式

虽然没有从正则表达式 (RE) 绘制 DFA 的算法捷径，但通过分析而不是推导可以使用捷径技术，它可以节省您绘制最小化 dfa 的时间。但是偏离了你只能通​​过练习才能学习的技术。我以你的例子来展示我的方法：

(a + b)*ab   

首先，考虑正则表达式的语言。如果第一次尝试很难说出语言描述是什么，那么找到可以用语言生成的最小可能字符串，然后找到第二小的......

记住一些基本正则表达式的解决方案。例如，我有written here some basic idea to writing left-linear and right-linear grammars directly from regular expression. 同样你可以写来解释最小化的 dfa。

在 RE (a + b)*ab 中，可能的最小字符串是 ab，因为使用 (a + b)* 可以生成 NULL(^) 字符串。第二小的字符串可以是aab 或bab。现在我们可以很容易地注意到关于语言的一件事是，该 RE 语言中的任何字符串总是以ab（后缀）结尾，而前缀可以是任何可能的字符串，由a 和b 组成，包括^。

另外，如果当前符号是a；那么一个可能的机会是下一个符号将是b 和字符串结尾。因此，在 dfa 中，我们需要一个转换，使得当 b 符号出现在 符号 a 之后，那么它应该移动到某些 最终状态 dfa。

接下来，如果一个新符号进入最终状态，那么我们应该移动到某个非最终状态，因为b 之后的任何符号都可能只在语言中的某个字符串中间，就像所有语言一样字符串以后缀 'ab' 结尾。

所以在这个阶段有了这些知识，我们可以绘制一个不完整的转换图，如下所示：

---►(Q₀)---a---►(Q₁)---b----►((Q_f))

现在你需要明白：每个状态都有一些含义，例如

(Q₀) 表示 = 开始状态
(Q₁) 表示 = 最后一个符号是“a”，再加上一个“b”，我们可以转换到最终状态
(Q_f) 表示 = 最后两个符号是 'ab'

现在想想如果符号a 进入最终状态会发生什么。更多地说明 Q₁ 因为这个状态意味着最后一个符号是a。 （更新转换图）

--►(Q0)---a---►(Q1)---b----►((Qf))  
                ▲-----a--------|  

但假设符号 a 不是符号 b 到达最终状态。然后我们应该从最终状态转移到某个非最终状态。在这种情况下的当前转换图中，我们应该从最终状态 Q_f 移动到初始状态。（同样我们需要字符串中的ab 来接受） p>

--►(Q0)---a---►(Q1)---b----►((Qf))  
     ▲          ▲-----a--------|  
     |----------------b--------|  

这张图还不完整！因为来自 Q₁ 的符号 a 没有出边。对于状态 Q₁ 上的符号 a，需要自循环，因为 Q₁ 表示最后一个符号是 a。

                a-  
                ||
                ▼|
--►(Q0)---a---►(Q1)---b----►((Qf))  
     ▲          ▲-----a--------|  
     |----------------b--------|     

现在我相信上图中的 Q₁ 和 Q_f 都存在所有可能的出边。一个缺失的边是符号 b 的 Q₀ 的出边。并且在状态 Q₀ 必须有一个自循环，因为我们再次需要一个 ab 序列，以便字符串可以被接受。 （ab 可以实现从 Q₀ 到 Q_f 的转换）

    b-          a-  
    ||          ||
    ▼|          ▼|
--►(Q0)---a---►(Q1)---b----►((Qf))  
     ▲          ▲-----a--------|  
     |----------------b--------|      

现在 DFA 已完成！

在最初的几次尝试中，该方法可能看起来很困难。但是，如果你学会用这种方式画画，你会发现你的分析能力有所提高。你会发现这种方法是快速而客观的绘制 DFA 的方法。

_{* 在我给出的链接中，我描述了更多的正则表达式，我强烈建议你学习它们并尝试为这些正则表达式制作 DFA。}