使用多个求和查找有序集合的组合数答案

【问题标题】：Find number of combinations of ordered set using multiple summations使用多个求和查找有序集合的组合数
【发布时间】：2012-06-18 05:16:11
【问题描述】：

这是关于查找有序集合的多个组合的问题，其中元素具有约束。

举个例子：

a+b+c+d+e=635，可能是……

[0-90] + [1-120] + [50-150] + [20-200] + [30-250] = 635

一个解决方案使用多个求和，正如数学堆栈交换中所回答的那样。

https://math.stackexchange.com/questions/159197/combinatorics-using-constraints-and-ordered-set

有人可以大致介绍一下解决此类问题的过程或伪代码吗？

非常感谢！

【问题讨论】：

家庭作业？你尝试了什么？此外，特定于语言的标签将是高度相关的。
不是作业。我希望有人理解使用多个求和的数学过程，如数学交换链接中所示，而我不理解。我不确定多个求和是否应该是嵌套循环，将值元素加 1。我只是不太了解数学方程，例如 d=max(c+1,20) 作为求和和多重求和的索引。
这个问题也可能更适合 math.stackexchange.com；虽然你可能会在这里得到答案，但在那里问也无妨。你得到的方程不是特别适合计算；直接计算它需要一个一个地计算。
这个问题首先是在数学 stackexchange 上提出的。该链接包含在此处发布的此问题中。答案是一个求和方程，也是一个建议，询问如何在可能的这个网站上对其进行编码。

标签： java c++ sum combinations combinatorics

【解决方案1】：

一堆嵌套的for循环是最简单的方法。

伪代码：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = max(a+1, 1) to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = max(c+1, 20) to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if max(d+1, 50) <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1

更新

上面的内容可以稍微优化一下，但你最终会得到一个特定的解决方案，而不是通用的解决方案。

您可以观察到(a+1) >= 1 始终为真，因此我们可以在对b 的赋值中去掉max 调用。同样，(c+1) >= 20 始终为真，因此可以简化对d 的分配。

您还可以看到a + b + c + d 的最大可能值为 540，这为e 提供了最小可能值为 95。这大于e 的规定下限，因此我们只需检查e >= (d+1)。

我们最终得到：

let combinations = 0;
for a = 0 to 90
    for b = a+1 to 120
        for c = max(b+1, 50) to 150
            for d = c+1 to 200
                let e = 635 - a - b - c - d;
                if d+1 <= e <= 250
                    let combinations = combinations + 1

【讨论】：

谢谢！所以这是通过可能性，测试和增加。我明白了，虽然希望不是那样。这可能需要很长时间才能完成每一个。如果有另一种更快的方法来获得相同的结果，那就太好了！

【解决方案2】：

查看数学交换页面上发布的解决方案。每个 sigma 符号都是一个嵌套的 for 循环。最里面的术语x 以if 的形式给出。因此，您的算法应该是围绕 if 的四个嵌套循环。

【讨论】：