如何进行从重心坐标到笛卡尔坐标的转换？

Question

根据wiki，重心坐标到笛卡尔坐标的转换如下

这是一段来自其他地方的代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# from barycentric coordinates to Cartesian coordinates
a = np.array([0.  , 0.  , 1.  , 0.25, 0.25, 0.5 ])
b = np.array([0.  , 1.  , 0.  , 0.25, 0.5 , 0.25])
c = np.array([1.  , 0.  , 0.  , 0.5 , 0.25, 0.25])
x = 0.5 * ( 2.*b+c ) / ( a+b+c )
y = 0.5*np.sqrt(3) * c / (a+b+c)
plt.scatter(x,y)
plt.show()

这段代码好像使用了另一个公式，如果是，公式是什么？

假设B的重心坐标为(0,0,1)，如何计算其笛卡尔坐标？ B点的lambda_1、lambda_2、lambda_3、x_1、x_2、x_3、y_1、y_2、y_3是什么？

Answer 1

你的公式是正确的。

假设一个三角形的三个角被编码为矩阵t的列，下面是一个简单的Python实现：

import numpy as np

def get_cartesian_from_barycentric(b, t):
    return t.dot(b)

b = np.array([0.25,0.3,0.45]) # Barycentric coordinates
t = np.transpose(np.array([[0,0],[1,0],[0,1]])) # Triangle
c = get_cartesian_from_barycentric(b, t)

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您找到的公式也是从重心坐标计算笛卡尔坐标，但使用具有以下坐标的预定义正三角形：

(x1,y1) = (0,0)
(x2,y2) = (1,0)
(x3,y3) = (1/2,sqrt(3)/2)

在这个计算中，代码认为每一列都是一个用重心坐标表示的点。因此，它一次计算 6 个点。此外，重心坐标需要归一化，即lambda1 + lamda2 + lambda3 = 1。这段代码不假设规范化，所以它需要除以 lambdas 的总和来确保这个属性。当然，我们可以看到所有 6 个点的总和始终为 1，但代码可用于总和不为 1 的 lambdas。

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在你给出的最后一个例子中，B 是三角形的一个点，不是用重心坐标表示的。 P 是用相对于 A、B 和 C 点的重心坐标表示的点。设A = (x1,y1)、B = (x2,y2) 和C = (x3,y3)，并且 P 具有重心坐标(l1,l2,l3)。那么，P的笛卡尔坐标(xp,yp)就是

xp = l1*x1 + l2*x2 + l3*x3
yp = l1*y1 + l2*y2 + l3*y3