Fenwick 树与段树答案

【问题标题】：Fenwick tree vs Segment treeFenwick 树与段树
【发布时间】：2020-10-04 01:14:09
【问题描述】：

我需要在数组的某个范围内计算总和，因此我遇到了 Segment Tree 和 Fenwick Tree，我注意到这两个树都以相同的渐近运行时间进行查询和更新。我做了更多的研究，这两种数据结构似乎以相同的速度做所有事情。两者都有线性内存使用（Segment Tree 使用两倍）。

除了运行时间/内存和实现方面的恒定因素之外，还有什么理由让我选择其中一个？

我正在寻找一个客观的答案，比如某个操作比另一个操作更快，或者某个限制可能有另一个限制。

我看到了另外 2 个关于此的 StackOverflow 问题，但答案只是描述了这两种数据结构，而不是解释什么时候一个可能比另一个更好。

【问题讨论】：

标签： algorithm tree segment-tree fenwick-tree

【解决方案1】：

我read this on Quora。希望对您有用。

段树可以做一些事情，但 BIT 不能：BIT 本质上适用于累积量。当需要区间 [i..j] 的累积量时，它是 [1...j] 和 [1...i-1] 的累积量之间的差。这仅是因为加法具有逆运算。如果操作是不可逆的（例如 max），则不能这样做。另一方面，线段树上的每个区间都可以作为不相交区间的并集找到，不需要逆运算
BIT 只需要段树一半的内存：如果您有自虐的内存限制，您几乎无法使用 BIT
虽然 BIT 和段树操作都是 O(log(n))，但段树操作有一个更大的常数因子：这对于大多数情况来说应该无关紧要。但是再一次，如果您有受虐的时间限制，您可能希望从分段树切换到 BIT。如果 BIT/Segment 树是多维的，则常数因子可能会成为更大的问题。

【讨论】：

那么，渐近（即忽略常数因素），Segment Tree 严格来说优于 Fenwick Tree？ Fenwick 树可以渐近地做比分段树更快的事情吗？

【解决方案2】：

我在cp-Algorithm 上发现了一些可能对你有帮助的东西。

分段树 -

在 O(logN) 内回答每个查询
在 O(N) 中完成预处理
优点：时间复杂度好。
缺点：与其他数据结构相比，代码量更大。

芬威克树 -

在 O(logN) 内回答每个查询
预处理在 O(NlogN) 中完成
优点：代码最短，时间复杂度好
缺点：Fenwick 树只能用于 L=1 的查询，所以它是不适用于很多问题。

【讨论】：

Fenwick 树可以在 O(N) 中构建。不是在每个条目上调用更新，而是遍历每个元素并将数组的值更新为直接父级。我们也可以通过计算 R 和计算 L 的反函数来使用 Fenwick 的树来计算 L != 1。也就是说，如果求和是函数，那么你找到 R 和 L 并从 R 中减去 L 的结果来得到答案。跨度>

【解决方案3】：

评论 Harsh Hitesh Shah 的回答：反对使用 Fenwick 树的最后一点，一般来说是不成立的。反例证明：假设我们有一个用于前缀和的 Fenwick 树，函数 query(x) 返回从第一个索引 1 到包括索引 x 的前缀和。如果我们想计算某个区间 [L, R] 的总和，其中 1

【讨论】：

【解决方案4】：

一些附加信息：

段树可以存储也可以隐式存储（就像堆一样），这将占用2n空间
Fenwick 树是一种在线数据结构，这意味着您可以将元素添加到末尾，就像数组一样，它仍然可以工作。默认情况下，段树没有此属性。如果您隐式存储它们，您可以通过将分段树的大小加倍（就像摊销的O(1) 数组）在摊销的O(log(n)) 中实现追加和前置操作。您需要研究段树在内存中的样子，然后相应地放置新空间（您不能只将所有额外空间放在一端）。请记住，由于段树已经占用了 2n 空间，因此每次将数组加倍时，您现在都会使用 4n 空间
Fenwick 树速度更快，非常易于实现。渐近界是等价的，但最基本的查询和更新代码几乎是无分支的、非递归的，并且使用的操作很少。段树版本的制作速度几乎一样快，但这确实需要额外的努力。值得庆幸的是，这仅在非常大的输入中很重要，因为隐式存储段树具有出色的空间局部性，与存储指针相比，这给了它一个很好的提升
Fenwick 树无法计算log(n) 中的逆查询（据我所知）；也就是说，如果我们存储部分和，我想知道索引i 计算为部分和s，这将采用log(n)^2。这个过程在log(n) 中对于段树来说是微不足道的
分段树可以执行许多其他查询，其中许多查询在 Fenwick 树上是不可能的。当然，您需要为这种额外的灵活性付出2n 的存储成本

编辑：您可以在log(n) 中计算此查询！这是我的实现：

def find(self, s):
    b = 1
    while b < len(bit):
        b <<= 1
    b >>= 1
    index = 0
    cur = 0
    while b > 0:
        if bit[index + b] + cur <= s:
            index += b
            cur += bit[index]
        b >>= 1
    return (index, cur)

这将返回最接近目标部分和的索引和总和（将始终为

好的段树文章：https://cp-algorithms.com/data_structures/segment_tree.html

【讨论】：