【问题标题】：Point Updates in Fenwick TreeFenwick 树中的点更新
【发布时间】：2020-09-18 14:44:08
【问题描述】：

我很难理解将 LSB 添加到当前索引如何为我们提供包含给定点的下一个位置。

void update(int k, int x) {
    while (k <= n) {
        tree[k] += x;
        k += k&-k; // adding LSB (least significant bit)
    }
}

谁能向我解释或参考一些资源？我看到的所有资源都只是告诉你它有效，但没有解释原因。我知道查询是如何工作的。

谢谢。

P.S 我在这里看到过类似的问题，但我还是不明白，因为他们没有真正解释。

【问题讨论】：

标签： data-structures fenwick-tree

【解决方案1】：

Fenwick Tree 数据结构可能很难从根本上掌握，但一旦你了解了底层数学，你应该会擅长它。所以我将尝试解释所有关于Fenwick Trees的如何和为什么。

Fenwick Tree 基于数组索引的二进制表示

首先，你应该坚定地理解的是：

Fenwick 树的想法是基于一个事实，即每个整数都可以表示为二进制数，即作为 2 的不同幂的总和，并且该表示将是唯一的；例如整数 14 可以表示为 2³+2²+2¹。

^{请注意，“不同”是此定义中的重要关键字，因此您不应将 14 表示为 2³+2¹+2¹+2¹.}

芬威克树的种植方式

这里我不会实现Fenwick Tree 填充算法（你说，你明白树是怎么填充的，另外，和问题无关）；但是，我要强调一个事实，Fenwick 树 [大部分] 是通过数组实现的，在某种程度上，fenwick-tree 数组中的每个槽都保存一个值，即原始数组的范围之和，其中：

该范围内的右索引是 k 本身（这个槽是右边界）；
该范围内的元素数是该索引的 sum-of-the-powers-of-two 表示中的最小 addend（因此，您应该计算那个元素的数量，从右到左，以便得到有问题的范围）。

P。 S. 如果 Fenwick 树 在索引 24 处存储了一些 n 值，这意味着，原始数组中的区间 [17, 24] 的总和 em>，将是 n。

问：为什么左边是17？
A：因为，24 是 2⁴+2³，并且此表达式的最小加数是2³ = 8。现在，根据上面给出的定义，在 Fenwick Tree 数组中索引 24 处元素的总和将包含 8 个元素，如果右边界恰好位于索引 24 本身，则从右到左的 8 个连续元素将使我们到达左边界，即索引 17；因此，我们在包含范围 [17, 24] 中有 8 个元素，索引 24 处的值将是 n，它是 [17, 24] 范围内元素的总和。

这张图片甚至可以清楚地说明我上面写的内容：

重要提示：

将整数表示为 2 的不同幂次之和，源于二进制数系统的原理。

例如，1011可以写成2³+2¹+2⁰。

在二进制表示中，最左边的列构成 2 的 3 次方，最右边的列构成 2 的 0 次方。在二进制表示中，从最右边的列到 2 的幂每一步增加 1左边。

如果你了解二进制数制，你应该明白，当将某个数N表示为两个不同幂的和时，其中最小的数总和，与 N 的二进制表示中的部分相同，从最低有效位 (LSB) 开始并以该二进制表示的最右边数字结束，也与 2 的幂相同indexOf(LSB)-1 （如果你从右边开始用 1 索引你的二进制数）或 indexOf(LSB) （如果你用0).

这一切带来了什么？

更快的范围查询

了解范围查询在 Fenwick 树中的工作原理。

我希望您理解我们需要 前缀和 用于范围查询。

为了计算original[0, index] 的前缀总和，您现在只需在相应的Fenwick Tree 中向下级联，而不是遍历整个数组索引，并且您不断地从这些索引处的值中移除 LSB，同时继续对所有这些索引处的值求和（它们是原始数组范围的总和） .

这看起来像：

int prefixSum(int index) {
    int sum = 0;
    while(index!=0) {
        sum+=fenwickTree[index];
        index = index - LSB(index);
    }
    return sum;
}

问：为什么会这样？
A：我认为现在应该很明显了，但如果仍然没有 - 请密切注意我们为什么要删除 LSB(index)。我们这样做是因为在计算 前缀总和 时将 fenwickTree[index] 添加到当前总和之后，正如我们在上面已经解释的那样，存储原始数组间隔的另一个切片的下一个插槽将是在index = index - LSB(index)，因为在Fenwick Tree中，indixk存储了长度为[2^{LSBIndexOf(toBinary(k))-1的区间sup>, k]}

因此，根据我们刚刚展示的内容（级联、求和和index-LSB(index)），对于 Fenwick 树，索引 11 的前缀总和（例如）将计算为：

prefixSum = fenwickTree[11] + fenwickTree[10] + fenwickTree[8]

因为：

fenwickTree[11] 存储 original[11] 的总和（奇数索引仅存储这些索引处的值）；
fenwickTree[10] 存储 original[9,10] 的总和；
fenwickTree[8] 存储 original[1, 8] 的总和。

你基本上有 3 个切片要总结：[1,8]、[9,10] 和 [11]。

更快的点更新

了解点更新在 Fenwick 树中的工作原理。

我认为，现在很明显 Point Update 工作的原因和方式 - 就 LSB 而言，它是范围查询的相反操作 - 而不是删除 LSB (index)，您将添加 LSB(index)，现在向上级联到索引并更新 Fenwick 树中的相应索引。

例如，如果我们想在索引 9 处添加一个值，您必须找出负责该索引的所有槽，并且必须更新它们。我们必须从索引 9 元素的 LSB 开始获取数字，并且必须将其添加到索引 9 处的值。我们必须不断重复此操作，直到到达 LSB 是该索引本身的数字的槽。就是这样。

void update(int i, int x) {
    while (i <= n) {
        fenwickTree[i] += x;
        i += LSB(i); //this will give you the next slot which is used as an addend
    }
}

我真的希望这对您有所帮助并阐明您的理解。

【讨论】：