最小生成树的全对最短路径

Question

我正在尝试解决有关图的算法挑战，我已设法将其分解为以下内容：给定一个无向生成树，找到 2 个叶子，使得它们之间的成本最小。

现在我知道了 Floyd Warshall 算法，它可以找到时间复杂度 O(N^3) 和空间复杂度 O(N^2) 的所有对最短路径。问题的输入是 N = 10^5 所以 O(N^3) 和 O(N^2) 太多了。

有没有办法针对这个问题优化空间和时间复杂度？

Answer 1

正如@Codor 所说，详细说明，在 MST 中，任何一对节点都只有一条唯一路径，并且最短路径相同。 为了计算所有对的最短路径。 您可以选择遵循此算法。

• 你基本上可以通过不断删除叶子节点直到只剩下一两个节点来选择找到MST的根。

  复杂性：centre node in a tree 这可以在 O(V) 即线性时间中实现

• 选择其中之一作为根。使用Breadth First Search(BFS) 计算所有其他节点相对于根节点的距离。

  复杂度：O(V+E) ~ O(V) 在树的情况下

• 现在您可以找到任意一对节点的 b/w 距离，称为 a,b。找到它的least common ancestor(lcp)。 那么有两种情况如果

  1. lcp(a,b) = r（树的根）。 dis(a,b) = dis[a] + dis[b]
  2. lcp(a,b) = c（不是根节点） dis(a,b) = dis[a] + dis[b] - 2 * dis[c]

其中 dis(x,y) = 距离 b/w 节点 x,y 和 dis[x] 节点 x 到根节点的距离 如果使用 Ranked Union Find 实现

复杂度： O(h) ，其中 h 是每对 (a,b) 的树的高度。 h = X/2，其中 X 是树的diameter。 所以总复杂度取决于否。叶节点对。