如果我们修改最短路径问题，使得两个顶点之间的路径成本是其上边成本的最大值，那么对于任何一对顶点 u 和 v， 它们之间遵循最小成本生成树的路径是最小成本路径。
我怎样才能证明这种方法是正确的？这是有道理的，但我不确定。有谁知道这个算法是否存在于文献中？有名字吗？
【问题讨论】：
标签： algorithm graph theory graph-algorithm
您可以使用 MST 的一些基本事实（通常在 Prim 和 Kruskal 算法的正确性证明中讨论）。现在最重要的是
引理 1：
给定一个图割（将顶点分成两个 不相交集）连接两个部分的 MST 中的边将是 连接两部分的最便宜的边。
（证明是直截了当的，如果有更便宜的边，我们将能够轻松构建更便宜的生成树）
如果考虑最大成本，我们现在可以证明 MST 中的路径都是最小成本路径：
取G 中的任意两个顶点s 和t 以及在G 的MST 中连接它们的路径p。现在让uv 成为这条路径中最昂贵的边。我们可以描述在这条边上切割的图，一个分区的顶点位于 MST 的u 一侧，另一个分区的顶点位于 v 一侧。我们知道任何连接s 和t 的路径都必须通过这个切割，因此我们可以确定从s 到t 的任何路径的成本必须至少是这个切割上最便宜的边的成本。但是引理 1 告诉我们 uv 是这个切割中最便宜的边缘，所以p 必须是最小成本路径。
【讨论】：
您提到的方法在讨论 Prim 算法和 Dijkstra 算法之间关系的文献中进行了详细讨论，通常维基百科是您开始研究的好地方：
Dijkstra's algorithm 的基础进程类似于Prim's algorithm 中使用的贪婪进程。 Prim 的目的是找到连接图中所有节点的最小生成树； Dijkstra 只关注两个节点之间成本最低的路径。
【讨论】：