如何在泰勒级数中展开函数组合？答案

【问题标题】：How to expand in taylor series a composition of functions?如何在泰勒级数中展开函数组合？
【发布时间】：2019-06-15 16:25:45
【问题描述】：

我想在 taylor 系列中扩展一个类型的函数：f(x+f(x)) 在 x=a 周围的情况下 f(a)=0。

(%i1) atvalue(f(x),[x=a],0)$

直接微积分产生：

(%i2) taylor(f(x+f(x)),x,a,2);

(%o2)/T/ f(a)+(at('diff(f(f(x)+x),x,1),x=a))*(x-a)+((at('diff(f(f(x)+x),x,2),x=a))*(x-a)^2)/2+...

如果我定义一个中间函数：

(%i3)define(tf(x),taylor(f(x),x,a,2))$

然后我得到泰勒级数的展开：

(%i4) taylor(f(x+tf(x)),x,a,2);

(%o4) 0+...

我希望得到以下结果： f(1+f'(a))f'(a)(x-a)+(x-a)^2 f''(a)[f'(a)+(1+f'(a))^2/2]+o(x-a)^2

我该如何解决这个问题？

【问题讨论】：

标签： maxima taylor-series

【解决方案1】：

您可以使用gradef 来简化符号。

gradef(f(x),  f1(x)) $
gradef(f1(x), f2(x)) $

atvalue(f(x), x = a,  0) $

e: f(x+f(x)) $
e: taylor(e, x, a, 2) $
e: expand(e, 0, 0)$ /* 'taylor' form to ordinar expression */
e: ev(e, nouns);    /* f(a) to 0 */

          2                                          2
       (f1 (a) f2(a) + 3 f1(a) f2(a) + f2(a)) (x - a)
(%o7) -----------------------------------------------
                              2
                                                          2
                                                     + (f1 (a) + f1(a)) (x - a)

【讨论】：

好的，在这种情况下很清楚！但是，是否可以评估泰勒展开式中的简化 f(a)=0？例如，如果我想在泰勒级数中扩展函数 1/f(x+f(x))

【解决方案2】：

解决方法如下：



    gradef(f(x),  f1(x)) $
    gradef(f1(x), f2(x)) $
    atvalue(f(x), x = a,  0) $

    e: f(x+f(x)) $
    e: taylor(e, x, a, 2) $
    e: expand(e, 0, 0)$ /* 'taylor' form to ordinar expression*/
    e: ev(e, nouns);    /* f(a) to 0 */
    taylor(e,x,a,2); /* Becomes again a taylor serie which could be reused*/

例如，如果我想找到定义的Steffensen method的顺序，对于函数f，它是C^2和f(a)=0,f'(a)!=0，通过：



    Sf(x)=x-f(x)^2/(f(x+f(x)-f(x))

如果我直接围绕 a 展开这个函数，我会得到：



Sf(x)=a+(x-a)-(f1(a)^2*(x-a)^2)/f(a)+...

因为 f(a)=0 而发散。

所以这必须分两步进行。首先我扩大分母：



    den:f(x+f(x))-f(x)$
    t:taylor(den,x,a,2);
    t: expand(t, 0, 0)$
    t: ev(t, nouns)$
    t:taylor(t,x,a,2);

然后我展开函数Sf：



    Sf:x-f(x)^2/(t)$/*Introducing the taylor serie of den*/
    taylor(Sf,x,a,2);

提供想要的结果：



    Sf(x)=a+((f1(a)+1)*f2(a)*(x-a)^2)/(2*f1(a))+...

【讨论】：