Maxima 中数值表达式的非求值

Question

我从一个简单的 Maxima 问题开始，这个问题的答案可能会为我正在努力解决的实际问题提供答案。

相关的简单问题： 我怎样才能得到最大值来计算： bfloat((1+%i)^0.3); 是否可以设置一个选项变量，以便计算为复数？

实际问题： 在评估有限元方法的数值时间积分的近似值时，为此我使用了谱分析，这需要计算 4 x 4 矩阵的特征值。这个矩阵“cav”也在最大值内计算，使用最大值的一些代数能力，但代替数值，所以矩阵完全是数值的，即不包含变量。我用 Mathematica 计算了特征值，它返回了 4 个真实的特征值。然而，Maxima 为这种情况计算了极其复杂的表达式，显然它不“知道”如何简化，即使在数字上是“bigfloat”。也许这个问题的出现是因为 Maxima 首先用有理数（即分数）近似矩阵“cac”，然后尝试完全精确地解决问题，而不是简单地使用数值“bigfloat”计算。我有办法改变这个吗？

请注意，如果您只将 gzv 的输入值更改为 0.5，它可以正常工作，并返回复杂特征值的数值。

我包含下面的代码。请注意，直到 "cav:subst(vs,ca)$" 之前的所有代码仅用于矩阵 cav 的定义，并且似乎工作正常。正是在此后的少数语句中，它未能计算特征值的数值。

v1:v0+ (1-gg)*a0+gg*a1$
d1:d0+v0+(1/2-gb)*a0+gb*a1$
obf:a1+(1+ga)*(w^2*d1 + 2*gz*w*(d1-d0)) -
          ga *(w^2*d0 + 2*gz*w*(d0-g0))$
obf:expand(obf)$
cd:subst([a1=1,d0=0,v0=0,a0=0,g0=0],obf)$
fd:subst([a1=0,d0=1,v0=0,a0=0,g0=0],obf)$
fv:subst([a1=0,d0=0,v0=1,a0=0,g0=0],obf)$
fa:subst([a1=0,d0=0,v0=0,a0=1,g0=0],obf)$
fg:subst([a1=0,d0=0,v0=0,a0=0,g0=1],obf)$
f:[fd,fv,fa,fg]$
cad1:expand(cd*[1,1,1/2-gb,0] - gb*f)$
cad2:expand(cd*[0,1,1-gg,0]   - gg*f)$
cad3:expand(-f)$
cad4:[cd,0,0,0]$
cad:matrix(cad1,cad2,cad3,cad4)$
gav:-0.05$
ggv:1/2-gav$
gbv:(ggv+1/2)^2/4$
gzv:1.1$
dt:0.01$
wv:bfloat(dt*2*%pi)$
vs:[ga=gav,gg=ggv,gb=gbv,gz=gzv,w=wv]$
cav:subst(vs,ca)$
cav:bfloat(cav)$
evam:eigenvalues(cav)$
evam:bfloat(evam)$
eva:evam[1]$

Answer 1

这里的主要问题是 Maxima 非常努力地使计算精确，并且很难告诉它放松并允许不精确的结果。

您上面发布的代码有错误吗？您有 cav:subst(vs,ca) 但未定义 ca。应该是cav:subst(vs,cad) 吗？

对于短问题，通常rectform 可以将复杂的表达式简化为更有用的东西：

(%i58) rectform (bfloat((1+%i)^0.3));
`rat' replaced 1.0B0 by 1/1 = 1.0B0
(%o58)       2.59023849130283b-1 %i + 1.078911979230303b0

关于 long 问题，如果您可以接受固定精度（即普通浮点数，而不是大浮点数），那么您可以使用 LAPACK 函数dgeev 来计算特征值和/或特征向量。

(%i51) load (lapack);
<bunch of messages here>
(%o51)    /usr/share/maxima/5.39.0/share/lapack/lapack.mac
(%i52) dgeev (cav);
(%o52)    [[- 0.02759949957202372, 0.06804641655485913, 0.997993508502892, 0.928429191717788], false, false]

如果您真的需要可变精度，我不知道该尝试什么。原则上，可以重新编写 LAPACK 代码以使用可变精度浮点数，但这是一项艰巨的任务，我不确定细节。