快速排序的最佳案例性能（波浪符号）

Question

我的教授说快速排序的最佳情况是当拆分平衡时（即当主元始终是中间元素时）。

现在可以通过使用循环关系来确定最佳情况快速排序的复杂性，如下所示：

T(n) = 2*T(n/2) + partitioning(n)

在下一步中，他说：

因此= ~n * log2(n)

有人能详细说明你如何计算这个吗？我搜索了很多，但所有的解释都是用 big-Oh 符号表示的，或者并没有真正解释如何解决/计算重复性。

Answer 1

我将在这个答案中解决Tilde Notation，假设partitioning(n) 本身就是~n，这意味着它会及时运行G(n) = n + C。

在这种情况下，最佳情况的复杂度函数为：

带有T(1) = 1+C的基本子句

T(n) = 2T(n/2) + (n+C)

声明：对于所有n>0：

T(n) = n(1+logn) + (2n-1)C

归纳证明。
基础子句：对于T(1)，声明作为基础。

T(n) = 2T(n/2) + (n + C)
T(n) = 2(n/2 log(n/2) + n/2 + (n-1)C) +(n + C) //induction hypothesis
T(n) = nlog(n/2) + n + (2n-2)C + n  + C
T(n) = nlog(n/2) + nlog(2) + n + (2n-2)C + C
T(n) = nlog(n/2 * 2) + n +(2n-2+1)C
T(n) = n(logn+1) + (2n-1)C

由于T(n) = nlogn + (2C+1)n - C，我们可以断定它确实是~nlogn。

Answer 2

答案来自Master Theorem。

快速排序的最佳情况运行时间的递推关系为：

T(n) = 2T(n/2) + Θ(n)

主定理将递归关系推广到形式：

T(n) = aT(n/b) + f(n)

比较两个方程：

a = 2

b = 2

f(n) = Θ(n)

由于f(n) = Θ(n)，来自主定理的案例2：

If f(n) = θ(n<sup>log<sub>b</sub>a</sup>), then T(n) = θ(n<sup>log<sub>b</sub>a</sup>lg(n))

因此，最佳情况下快速排序的时间复杂度降低到

T(n) = Θ(n lg(n))

编辑： 如果您问为什么它是波浪符号 ~n * log2(n) 而不是 Big-O 符号，那是因为在您的情况下，目标必须是创建一个运行时间的近似模型（如果有的话，不要忽略常量) 而不是制定复杂性的上限。此外，波浪符号对于预测性能非常有用，而 Big-O 符号则不然。