计算复杂度？答案

【问题标题】：Calculating complexity?计算复杂度？
【发布时间】：2012-12-31 09:29:25
【问题描述】：

我一直在尝试计算以下函数的复杂度：

k=n;
while(k>0)
  g(n);
  k=k/2; {Comment: this is integer division, so 1/2=0}
end while;
for(j=0;j<m;j++)
  f(m);

具体来说，while 循环的复杂度。有人告诉我 g(n) 的复杂度是 O(n)，但我不确定它的复杂度是多少，以及我将如何解决它.我已经意识到复杂度不会是 O(0.5n^2)，但我不确定如何计算它，因为每次减半。有人有什么想法吗？

【问题讨论】：

如果您的问题大小每次迭代减半，您需要进行多少次迭代才能达到问题大小为 0？ IE。给定一个数字n，您需要在（整数）计算器上按多少次 /2 才能达到 0？
@Karel 我试过用 8 等数字表示 n/2，但 20 等数字表示 n/4，所以我不确定。
这个数字实际上被称为对数（以 2 为底，除以 2）。 IE。外部循环重复 log(n) 次，其余的应该很容易 :) 另见 cs.stackexchange.com/questions/581/…
@KarelPetranek 我查看了那个链接，但是如果它重复 log n 次，当我使用 10 作为 n 的值时，我计算它应该运行 4 次，但我得到 log( 10) = 3.32？
你不能运行一个循环 3.32 次，所以你总是需要将数字向上取整（理论上迭代的分数意味着你需要在实践中进行整个迭代）。

标签： algorithm sorting complexity-theory asymptotic-complexity

【解决方案1】：

如果g(n)是O(n)，那么你的复杂度是O(n*log(n))

为了进一步解释，让我们暂时忽略 g(n)

k = n;
while(k > 0) {
    k = k / 2;
}

假设 n = 1000

那么我们会得到以下k的值

Pass | k
-------------
 0   | 1000
 1   | 500
 2   | 250
 3   | 125
 4   | 62
 5   | 31
 6   | 15
 7   | 7
 8   | 3
 9   | 1
 10  | 0 (stopped)

log(1000) = 9.96 请注意，只需 10 次迭代即可将 k 降至零。这是一个 log(n) 计算复杂度的例子。

然后，当您在循环中添加 g(n) 时，这意味着您为每次迭代添加 O(n)，这给了我们总计 O(n*log(n))

【讨论】：

不一定，还要看f(m)的复杂度。
是的，但是如果f(m)的复杂度不大于O(n*log(n))那么没关系。
虽然 while 循环确实是 O(nlogn)，但更严格的界限是 O(n)。（O(N)是O(NlogN)的子集，while循环其实是Theta(N)）
@KirkBackus 你能解释一下你是怎么得到nlogn的吗？我明天有考试，非常感谢。
@KirkBackus 如果 n=3 会怎样？那应该运行 3 次，但 log 3 = 1.58？

【解决方案2】：

while 循环的复杂度显然是O(n log n)。存在log n 迭代，因为在每次迭代结束时，k 除以 2。要获得迭代次数，请将 n 表示为 2 的幂，例如 2^x。如果2^x=n, then x = log n。这就是为什么while循环的复杂度是O(n log n)。不要混淆，因为n 不是 2 的幂，这意味着 log n 并不总是整数，您应该写，而不是 log n，[log n]，其中[y] 是整数y 的一部分。您始终可以将[log n] 表示为c* log n，其中c 是一个常数，这不会改变算法的复杂性。因此，您不需要[] 函数，O(n log n) 是可以接受且正确的答案。

for 循环的复杂度取决于f(m) 的复杂度。如果 O(f(m)) 为 O(1)，则循环为 O(m)，但如果 O(f(m)) 为 O(m)，则循环为 O(m^2)。因为f(m)也是算法的一部分，所以要确定整个代码的复杂度，需要知道f(的复杂度。

【讨论】：

【解决方案3】：

你的算法的复杂度是：

您的第一个循环运行 O(logn) 次，每次迭代都必须执行 g(n)。因此需要

O(sum{i from 0 to log(n)}{O(g(i))}).

第二个循环运行 m 次。需要：

O(sum{j from 0 to m}{O(f(i))})

你的算法的总复杂度是：

O(sum{i from 0 to log(n)}{O(g(i))}) + O(sum{j from 0 to m}{O(f(i))})

【讨论】：