插入排序算法的大o：迭代和递归

Question

这里我有两种插入排序算法。我很难找出这两种插入排序形式的大 O。我有一个迭代形式和一个递归形式。我说迭代形式是 n^2 而递归形式是 n^2 是不是错了。如果我错了，它们是什么，为什么？你是怎么得出这个答案的？

  public void iterativeSort(int[] list) {
        start = System.currentTimeMillis();
        for (int i = 1; i < list.length; i++) {
            count++;
            int temp = list[i];
            int j;

            for (j = i - 1; j >= 0 && temp < list[j]; j--) {
                list[j + 1] = list[j];
            }

            list[j + 1] = temp;
            finish += System.currentTimeMillis() - start;
        }

    }

    public static void recursiveSort(int array[], int n, int j) {
        finish += System.currentTimeMillis() - start;
        start = System.currentTimeMillis();
        if (j < n) {

            int i;
            count++;
            int temp = array[j];

            for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--) {
                array[i] = array[i - 1];
            }

            array[i] = temp;

            recursiveSort(array, n, j + 1);
        }
    }

Answer 1

是的，你说得对，这两种实现都需要O(n^2) 时间。您不可能通过从递归实现切换到迭代实现来减少算法的运行时间，反之亦然。但是，这不适用于空间使用情况。

如何确定运行时间是O(n^2)。迭代解决方案更容易和更明显。通常，当您嵌套了 for-loops 而没有任何特定的中断条件并且您正在运行一小部分线性元素时，运行时间是二次的。让我们进一步分析它。 for (int i = 1; i < list.length; i++) 中的条件将评估多少次 true？答案是n-1，因为您从第二个元素开始直到结束。例如，如果n=5，则条件将是true for i = 1, 2, 3, 4（由于基于0 的索引），正好是n-1 次，在本例中表示4。现在内部循环条件将计算多少次到true?在第一次运行时，它将执行一次，因为 i = 1 和 j = 0 并且在一次迭代之后 j 将是 -1 这将打破条件。在第二次迭代中，它将执行两次，第三次执行三次，以此类推，最多 n - 1 次。所以我们基本上得到的是和1 + 2 + 3 + ... + (n - 1)，你可以很容易地证明它等于(n-1)n/2)。由于您在 big-O 中删除常量，因此运行时间为 O(n^2)。

现在对第二个实现的分析可能会因为递归而显得有些复杂，但实际上并没有太大的不同。内部循环for (i = j; i > 0 && array[i - 1] > temp; i--) 的逻辑几乎相同，因为它执行一次，j = 1，两次j = 2 等等。我们将递归调用该方法多少次？再次n - 1 次，因为第一个调用是j = 1，因此是j < n（假设n 很大），然后调用recursiveSort(array, n, j + 1);。现在j = 2 再次小于n，所以我们将递归调用函数直到j == n，所以正好是n - 1 次。鉴于内部循环嵌套在O(n) 中，我们得到相同数量的迭代，即1 + 2 + 3 + ... + ( n-1 ) 再次导致O(n^2)。

所以我们非正式地证明了这两种算法具有相同的渐近运行时间。在这种情况下，我们可以认为它们是等价的吗？ 否。这是因为每个递归调用都会在堆栈上保留额外的空间，这意味着递归解决方案占用O(n) 空间，而迭代解决方案占用O(1)。从这个意义上说，我们可以说迭代解决方案更好，这通常是这种情况，但递归解决方案可能更具可读性（这里不是这种情况）。