使用分治法的整数乘法算法？答案

【问题标题】：Integer multiplication algorithm using a divide and conquer approach?使用分治法的整数乘法算法？
【发布时间】：2011-08-21 05:03:21
【问题描述】：

作为家庭作业，我应该使用低于 O(n) 的分治法实现 1000 位数字的整数乘法。我应该研究什么算法？

【问题讨论】：

如果 n 是输入的大小，则时间复杂度不能小于 O(n)。那么你甚至无法读取整个输入。
我怀疑 O(n) 指的是伪多项式时间，即他实际上想要比 O(2^n) 更好的东西.许多简单的算法都可以满足这一要求，但您可能会因实现答案中的其中一个而获得额外奖励。
你确定你没有把它误认为 O(n * n) 吗？如果那时，您有 1) Karatsuba 算法，它在 O(n^(log3 / log2)) 中运行，2) FFT 方法在 O(n log n) 中运行（技术上它是 O(n * log^* n)）。最简单的代码是 Karatsuba。
问题陈述有误。我已经给我的老师发了邮件，谢谢。

【解决方案1】：

Schönhage–Strassen algorithm 是已知最快的乘法算法之一。它需要 O(n log n log log n) 时间。

Fürer's algorithm 是目前已知最快的大数乘法算法，耗时 O(n*log n * 2^O(log*n))。

我认为任何乘法算法都不会小于甚至等于 O(n)。这根本不可能。

【讨论】：

酷！早在 2003 年，那是我的一个学生的项目。我在实数上实现了 Karatsuba 和 FFT（不是 Schönhage，这个是 O(n log^* n) ），当你不掌握代数时，这更容易上手。很高兴看到该领域有新的东西。顺便说一句，你混合了这两种复杂性。 Schonhage Strassen 是 O(n log n log log n) 之一。此外，根据维基百科，Fürer 不完全是 O(n log n)，而是 O(n log n 2^(log^* n))。

【解决方案2】：

看看Karatsuba algorithm。它涉及一个递归步骤，您可以轻松地使用分治法进行建模。

【讨论】：