分治矩阵乘法答案

【问题标题】：Divide and Conquer Matrix Multiplication分治矩阵乘法
【发布时间】：2011-06-18 07:56:32
【问题描述】：

我无法让分而治之的矩阵乘法工作。据我了解，您将大小为 nxn 的矩阵拆分为象限（每个象限为 n/2），然后执行以下操作：

C11 = A11⋅ B11 + A12 ⋅ B21   
C12 = A11⋅ B12 + A12 ⋅ B22  
C21 = A21 ⋅ B11 + A22 ⋅ B21  
C22 = A21 ⋅ B12 + A22 ⋅ B22

我的分而治之的输出非常大，我无法解决问题，因为我不太擅长递归。

示例输出：

原始矩阵A：

A×A

经典：

44 3 35 15  
56 20 24 35  
32 0 32 12  
29 5 21 17

分而治之：

992 24 632 408  
1600 272 720 1232   
512 0 512 384  
460 17 405 497

有人能告诉我分而治之我做错了什么吗？我所有的矩阵都是int[][]，经典方法是传统的3 for循环矩阵乘法

【问题讨论】：

为什么要这样做矩阵乘法？如果您对原始性能感兴趣，那么可以使用数字库，我相信它们会比您在合理时间内自己编写的更快。如果您有兴趣了解数值计算，我将从循环平铺（维基百科有一篇文章）开始，而不是递归解决方案。

标签： algorithm math matrix multiplication

【解决方案1】：

您以错误的方式递归调用divideAndConquer。您的函数所做的是对矩阵进行平方。为了使分治矩阵乘法起作用，它需要能够将两个可能不同的矩阵相乘。

它应该看起来像这样：

private static int[][] divideAndConquer(int[][] matrixA, int[][] matrixB){
    if (matrixA.length == 2){
         //calculate and return base case
    }
    else {
        //make a11, b11, a12, b12 etc. by dividing a and b into quarters      
        int[][] c11 = addMatrix(divideAndConquer(a11,b11),divideAndConquer(a12,b21));
        int[][] c12 = addMatrix(divideAndConquer(a11,b12),divideAndConquer(a12,b22));
        int[][] c21 = addMatrix(divideAndConquer(a21,b11),divideAndConquer(a22,b21));
        int[][] c22 = addMatrix(divideAndConquer(a21,b12),divideAndConquer(a22,b22));
        //combine result quarters into one result matrix and return
    }
}

【讨论】：

【解决方案2】：

一些调试方法可以尝试：

尝试一些非常简单的测试矩阵作为输入（例如，全零，一个或几个策略矩阵）。您可能会在“失败”中看到一种模式，该模式会告诉您错误在哪里。
确保您的“经典”方法为您提供正确的答案。对于小矩阵，可以使用 Woflram Alpha 在线测试答案：http://www.wolframalpha.com/examples/Matrices.html
要调试递归：在函数的入口和出口处添加 printf() 语句，包括调用参数。运行测试矩阵，将输出写入日志文件，然后使用文本编辑器打开日志文件。逐步检查每个案例，在编辑器中写下你的笔记，确保它在每个步骤中都能正常工作。添加更多 printf() 语句并在需要时再次运行。

祝作业顺利！

【讨论】：

我的经典方法确实给了我正确的答案。我将尝试制作一个全为 1 而不是 0 的矩阵，因为我怀疑 0 的矩阵是否会起作用，因为与 0 相加或相乘将为 0。
是的，一个全零的矩阵会给你零。但是添加一些战略性的（比如所有在一列或一行或对角线中）会给你一些更好的测试。

【解决方案3】：

谁能告诉我分而治之我做错了什么？

是的：

   int[][] a = divideAndConquer(topLeft);
   int[][] b = divideAndConquer(topRight);
   int[][] c = divideAndConquer(bottomLeft);
   int[][] d = divideAndConquer(bottomRight);

   int[][] c11 = addMatrix(classical(a,a),classical(b,c));
   int[][] c12 = addMatrix(classical(a,b),classical(b,d));
   int[][] c21 = addMatrix(classical(c,a),classical(d,c));
   int[][] c22 = addMatrix(classical(c,b),classical(d,d));

你在这里经历了一个额外的乘法步骤：你不应该同时调用divideAndConquer()和classical()。

你实际上在做的是：

C11 = (A11^2)⋅(B11^2) + (A12^2)⋅(B21^2)
C12 = (A11^2)⋅(B12^2) + (A12^2)⋅(B22^2)
C21 = (A21^2)⋅(B11^2) + (A22^2)⋅(B21^2)
C22 = (A21^2)⋅(B12^2) + (A22^2)⋅(B22^2)

这是不正确的。

首先，删除 divideAndConquer() 调用，并将 a/b/c/d 替换为 topLeft/topRight/etc。看看它是否给你正确的结果。
您的divideAndConquer() 方法需要一对输入参数，因此您可以使用A*B。一旦你得到这个工作，摆脱对classical()的调用，并改用divideAndConquer()。（或将它们保存为长度不是 2 的倍数的矩阵。）

【讨论】：

【解决方案4】：

您可能会发现Strassen's algorithm 上的 Wiki 文章很有帮助。

【讨论】：

接下来我将实现 Strassens 算法，但我也需要分而治之。