使用 Robert Sedwick 的 C++ 书籍自学算法
一个递归函数，将大小为 N 的问题一分为二 它递归求解的独立（非空）部分调用自身 少于N次。
如果零件的尺寸为 k 且尺寸为 N-k，则总数 我们使用的递归调用数是 T(n) = T(k) + T(n-k) + 1，对于 N>=1，T(1) = 0。
解 T(N) = N-1 是直接归纳法。如果尺寸总和为 一个小于 N 的值，证明调用次数小于 N-1 来自相同的归纳论证。
我对上述文字的问题是
我是数学归纳法的新手，所以很难理解。
感谢您的时间和帮助
【问题讨论】：
(1) 归纳法：
T(1) = 0 (base)
T(N) = T(k) + T(N-k) + 1 (definition of problem)
我们假设对于每个n < N，我们得到T(n) = n-1
由于k 和N-k 都小于N，我们从归纳假设中得到：
T(N) = (k-1) + (N-k-1) + 1 = N-1
^ ^
T(k) T(N-k)
(2) 使用相同的论点： 如果
T(N) = T(k) + T(m) + 1 where k+m < N
那么同样的证明会导致T(N) < N-1
【讨论】：
对于你问题的第一部分，首先我应该提到我认为作者是错误的，因为你有这个递归方程：
T(n) = T(k) + T(n-k) + 2 ：因为对于 n > 1，您将两个较小的部分称为不是一个。 现在我们的假设是 2(n-1) 次递归调用。
现在让我们用归纳法检查一下：
T(1) -> no recursive call.
T(2) = T(1) + T(1) + 2 : two recursive call.
...
T(n) = T(k) + T(n-k) + 2 = 2(k-1) + 2(n-k-1) + 2 = 2n-2 = 2(n-1).
对于你问题的第二部分，作者的意思是如果你分成两部分，使得部分的总和小于 n，比如大小为 k 的部分和另一部分大小为 n-2k 的 k > 1。
【讨论】：
首先，我们不是“通过归纳得出解决方案”，我们使用归纳来证明我们最初的猜测。现在，为了猜测，我们可以使用递归树等方法。
在您的问题中，最坏的情况是k=1，因为它会导致最多的递归。我们还知道每个级别的成本：
T(n) = T(1) + T(n-1) + 1 => T(n) = T(n-1) + 1
现在我们必须找到T(n-1) 的成本并将其添加到成本T(n)=1。
我们猜测最终结果是N-1。在这一步中，我们使用归纳法来证明我们的猜测。
更新：
T(n) 的成本为 1 （ T(1) 为零，加上将要计算的 T(n-1) ，加上 1 => 1 ），T(n-1) 的成本也是一（具有相同的逻辑）。我们往下走 n-1 的深度。最后一个是 T(1)，它是零。 （画一棵树，它会帮助你理解）。
这种猜测增长顺序的方法称为recursion tree。现在你可以通过归纳来证明它。
有关如何应用归纳法来证明假设的更多信息，请参阅 CLRS 等教科书。
【讨论】：