使用实验数据进行双重积分答案

【问题标题】：Double integration using experimental data使用实验数据进行双重积分
【发布时间】：2015-09-03 21:00:32
【问题描述】：

我需要使用实验数据执行双重积分，但我的积分限制对于每个积分都是相同的，在这种情况下是时间。数学上我需要计算：

E [ a₀+ ∫₀^T a(t)dt ] = a + lim_{Tx → ∞ sub> (1/T) ∫₀^T ∫₀^t a dt dT}

经过一番搜索，我到达了：

T = 0:0.1:600;
x = T;
A = rand(1,length(T)); % my data
pp_int = spline(T,A );
DoubleIntegration = integral(@(x)arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );

代码需要很长时间才能运行并提供巨大的价值。我认为我的问题是 Matlab 可能无法处理样条曲线，但我不知道如何解决。

【问题讨论】：

有一个integral2函数可能会更有效。此外，考虑到您输入的数据，您的预期值约为 180,000（rand 在 0 和 1 之间是统一的，因此所有值都是正数。
我认为使用integral2函数虽然该函数需要两个变量的依赖关系，但我不知道如何使用样条线执行此步骤。我的真实数据有正值和负值，rand 函数只是为了提供更多信息。

标签： matlab integration splines

【解决方案1】：

首先，你不应该在一堆东西上使用同一个字母；您的代码很难阅读，因为必须弄清楚 T 在每个实例中的含义。

第二，纯数学有帮助：经过变量的改变和简单的计算，双积分变成了单积分：

∫₀^T ∫₀^x a(t) dt dx = ∫_{0^T ∫_t^T a(t) dx dt = ∫₀^{T sup> (Tt)*a(t) dt}}

我使用了较小范围内的非随机数据进行演示：

T = 0:0.1:60;
x = T;
A = sin(T.^2); % my data
pp_int = spline(T,A );
tic
DoubleIntegration = integral(@(x) arrayfun(@(T )(integral(@(T ) ppval(pp_int,T ),0,  T  )),x),0,T(end)  );
toc
tic
SingleIntegration = integral(@(t) (T(end)-t).*ppval(pp_int,t), 0, T(end));
toc
disp(DoubleIntegration)
disp(SingleIntegration)

输出：

Elapsed time is 27.751744 seconds.
Elapsed time is 0.007223 seconds.
   51.3593

   51.3593

同样的结果，快了 3800 倍。

【讨论】：