使用 Gauss-Legendre 求积法对二重积分进行数值积分

【问题标题】：Numerical integration of a double integral using Gauss-Legendre quadrature使用 Gauss-Legendre 求积法对二重积分进行数值积分
【发布时间】：2016-12-13 05:42:04
【问题描述】：

我已经有一个代码用于生成用于积分的高斯-勒让德正交规则的权重和横坐标，但我在将其用于双积分时遇到了困难。

为了生成权重和横坐标，我使用以下符号 [w,x]=leg(x1,x2,n) 其中 w 是权重，x 是横坐标，x1 是积分的下限，x2 是上限，n 为交点数。

我只举一个简单的例子，以便帮助我理解这个想法。假设我有以下积分 $\int_0^1 \int_0^1 x^2 y^2 dx dy$ 我该如何实施？

提前致谢。

【问题讨论】：

标签： matlab integration numerical-integration

【解决方案1】：

双积分是矩形域上的积分。它们可以用专门的矩形方案来处理，或者——你尝试做的——用一维正交的产品方案。您甚至可以在这里混合搭配两种不同的方案。

乘积方案的点是笛卡尔积中的一维点，即对于方案 1 中的每个 x_i 和方案 2 中的每个 y_j，(x_i, y_j) 是乘积方案中的一个点。权重是两个对应权重的乘积。

如果你想让你轻松一点，你可以使用quadpy（我的一个项目）：

import numpy
import quadpy

quadpy.quadrilateral.integrate(
    lambda x: numpy.exp(x[0]),
    [[0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0], [0.0, 0.0]],
    quadpy.quadrilateral.Product(quadpy.line_segment.GaussLegendre(4))
    )

【讨论】：