用 numpy.fft 在傅里叶空间中进行数值积分答案

【问题标题】：numerical integration in Fourier space with numpy.fft用 numpy.fft 在傅里叶空间中进行数值积分
【发布时间】：2014-04-20 23:08:45
【问题描述】：

我想将一个函数与傅里叶空间中的数值积分进行积分。

以下代码显示了一个工作示例：

import numpy as np
from pylab import *
from numpy.fft import fft, ifft, fftshift, ifftshift

N = 2**16
x = np.linspace(- np.pi , np.pi,N)
y = np.exp(-x**2)                          # function f(x)
ys = np.exp(-x**2) * (-2*x)                # derivative f'(x)
T = x[-1] - x[0] # the whole range
w = (np.arange(N) - N /2.) / T + 0.00000001 # slightly shifted
# integration
fourier =  ifft(ifftshift(1./ ( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(ys)) )  ) 
# differentiation 
fourier2 =  ifft(ifftshift(( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(fourier)) )  )

您可能会注意到频率w 定义中的+ 0.00000001。我需要它，否则我会生成 ZeroDivisionError 或 numpy 警告。这是一种解决方法，对于上面的示例似乎没问题，但是对于我遇到的更复杂的问题它失败了。一位同事告诉我，我可以简单地避免它，如果我得到 fft 的频移值 (np.arange(N) - N /2. + 1./2) / T。如何在 numpy 中做到这一点？有没有办法指定numpy fft的输出网格？

谢谢！

【问题讨论】：

标签： python numpy fft

【解决方案1】：

问题是w 包含 0（应该如此），然后除以 w。 w 中的 0 是“直流”频率；它对应于傅里叶级数的常数项。

如果您将一个函数与一个具有系数 A0 的非零 DC 分量积分，则生成的函数包含一个 A0*t 形式的项，它不在此傅里叶技术应用的周期函数空间中。所以你必须假设输入的直流分量为0。在这种情况下，当你除以w时，你会得到(0+0j)/0，即(nan+nanj)。如果输入的直流分量不为零，您将得到(inf+nanj)。无论哪种方式，解决方案都是简单地忽略你得到的任何东西，并将 DC 傅立叶系数设置为 0，然后再使用 ifft 进行反相。

有几种方法可以实现这一点。一种方法是更改这些行：

w = (np.arange(N) - N /2.) / T + 0.00000001 # slightly shifted
# integration
fourier =  ifft(ifftshift(1./ ( 2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(fft(ys)) )  )

对此（我添加了几个中间变量）：

w = (np.arange(N) - N /2.) / T

# integration
Fys = fft(ys)
with np.errstate(divide="ignore", invalid="ignore"):
    modFys = ifftshift(1./ (2 * np.pi * 1j * w) * fftshift(Fys))

# modFys[0] will hold the result of dividing the DC component of y by 0, so it
# will be nan or inf.  Setting modFys[0] to 0 amounts to choosing a specific
# constant of integration.
modFys[0] = 0

fourier = ifft(modFys).real

我还取了ifft 的结果的实数部分。理论上虚部都应该是0；实际上，由于正常的不精确浮点运算，它们会非常小但非零。

顺便说一句，如果您不想实现自己的这种技术版本，可以使用scipy.fftpack.diff。

【讨论】：