用 FFT 对振荡函数进行傅里叶积分/傅里叶变换

Question

f(x) = cos(x^2) 和 g(k) = pi^0.5 cos((pi*k)^2 - pi/4) 是傅里叶对。

我想通过傅里叶使用 FFT 对 f(x) 进行积分来重现 g(k)，即

近似于Integrate[ f(x) * exp(2 pi * ikx), {x, -inf, inf} ]

Sum[ fn * exp(2 pi * ik x_n), {n, 0, N-1} ] * Delta_x

但是，如果结果完全一致，则结果仅在非常小的k 范围内与g(k) 一致（相同的代码适用于平滑傅里叶对，例如高斯函数）。我想问题是为N 和Delta_x 选择合适的值。是否有任何既定的规则来选择它们？我在哪里可以找到文献中的相关主题（我已经阅读了数字食谱第 13.9 节，但它似乎并没有解决我的问题）？

Answer 1

FFT 固有地用一个长度为 N 的矩形窗口对 f(x) 进行窗口化。对于在该窗口内不完全周期性的任何 k，这将产生不同的 g(k) 结果。您可以尝试选择 Delta_X 和 N，以便它们的结果是您想要的 k 的整数倍。