傅里叶空间滤波

Question

我有一个长度为 T 的实向量时间序列 x 和一个长度为 t

我想用 h 过滤 x 得到 y。

假设 t == T 和长度为 T 的 FFT 可以放入内存（两者都不成立）。为了在 python 中获得我过滤后的 x，我会这样做：

import numpy as np
from scipy.signal import fft, ifft

y = np.real( np.ifft( np.fft(x) * h ) ) )

由于条件不成立，我尝试了以下 hack：

1. 选择一个填充大小 P
2. 通过样条插值将 h 缩放为大小 B + 2P > t (h_scaled)
3. y = [];环形：
   • 从 x 获取长度为 B + 2P 的块（称为 x_b）
   • 执行 y_b = ifft(fft( x_b ) * h_scaled)
   • 从 y_b 的任一侧删除填充 P 并与 y 连接
   • 选择下一个 x_b 与最后一个重叠的 P

这是一个好的策略吗？如何以一种好的方式选择填充 P？这样做的正确方法是什么？我不太了解信号处理。这是一个学习的好机会。

我正在使用 cuFFT 来加快速度，所以如果大部分操作都是 FFT，那就太好了。实际问题是3D。另外，我不担心来自非因果过滤器的伪影。

谢谢， 保罗。

Answer 1

你在正确的轨道上。该技术称为overlap-save processing。 t 是否足够短以至于该长度的 FFT 适合内存？如果是这样，你可以选择你的块大小B 这样B > 2*min(length(x),length(h)) 并进行快速转换。然后当你处理时，你丢弃y_b的前半部分，而不是从两端丢弃。

要了解为什么放弃前半部分，请记住频谱乘法与时域中的循环卷积相同。与零填充的h 卷积会在结果的前半部分产生奇怪的故障瞬变，但到后半部分，所有瞬变都消失了，因为x 中的圆形环绕点与h 的零部分对齐. "Theory and Application of Digital Signal Processing" by Lawrence Rabiner and Bernard Gold 中对此有很好的解释，并附有图片。

重要的是，您的时域过滤器至少在一端逐渐减小到 0，这样您就不会得到振铃伪影。您提到h 在频域中是实数，这意味着它的相位均为 0。通常，这样的信号将仅以循环方式连续，并且当用作滤波器时会在整个频带中产生失真。创建合理滤波器的一种简单方法是在频域中使用 0 相位、逆变换和旋转来设计它。例如：

def OneOverF(N):
    import numpy as np
    N2 = N/2; #N has to be even!
    x = np.hstack((1, np.arange(1, N2+1), np.arange(N2-1, 0, -1)))
    hf = 1/(2*np.pi*x/N2)
    ht = np.real(np.fft.ifft(hf)) # discard tiny imag part from numerical error
    htrot = np.roll(ht, N2)
    htwin = htrot * np.hamming(N)
    return ht, htrot, htwin

（我对 Python 很陌生，如果有更好的编码方法，请告诉我）。

如果您比较 ht、htrot 和 htwin 的频率响应，您会看到以下内容（x 轴是最高 pi 的归一化频率）：

ht，在顶部，有很多波纹。这是由于边缘处的不连续性。 htrot，中间比较好，但还是有波纹。 htwin 很好而且很平滑，但会以稍高的频率变平为代价。请注意，您可以通过使用更大的 N 值来延长直线段的长度。

我写了关于不连续性问题的文章，如果你想了解更多细节，我还在another SO question 中写了一个 Matlab/Octave 示例。