Mathematica：数值集成中的评估顺序答案

【问题标题】：mathematica: evaluation order in numerical integrationMathematica：数值集成中的评估顺序
【发布时间】：2016-09-23 01:06:32
【问题描述】：

您好，我有一个关于数学中数值积分的问题。这是我的测试功能

Table[NIntegrate[
Boole[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2],
{cosk, -1,1}, {cosk2, -1, 1}, Method -> "GlobalAdaptive"], {a, -.9, .9, .1}]

积分产生复数，尽管由于被积函数中的布尔函数，sqrt 中的参数应始终为正，因此只产生实数值。是否可以首先评估布尔函数，并且只有当它为真时才开始进行数值积分？

如果我使用蒙特卡罗积分策略计算相同的积分

Table[NIntegrate[
Boole[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2], {cosk, -1, 
1}, {cosk2, -1, 1}, Method -> {"MonteCarlo", "MaxPoints" -> 10^8, 
"SymbolicProcessing" -> None}], {a, -.9, .9, .1}]

我怎样才能知道它是否由于布尔函数而总结了很多零？我认为如果首先评估蒙特卡洛网格的每个样本点的布尔函数，评估可以节省大量计算时间。如果我用“AdaptiveMonteCarlo”替换“MonteCarlo”，结果就会完全错误。

【问题讨论】：

标签： math wolfram-mathematica numerical-integration

【解决方案1】：

如果你转变为真正的守卫会发生什么？（Boole 形式可能太聪明了一半（Mathematica 可能不会将 false --> 0 视为真正的守卫）。

Table[NIntegrate[
If[Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2],
1/Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - cosk*cosk2)^2], 0],
{cosk, -1,1}, {cosk2, -1, 1}], {a, -.9, .9, .1}]

【讨论】：

【解决方案2】：

这里是如何使用EvaluationMonitor 来了解采样方法的作用：

out = Reap[With[{a = -.9},
   NIntegrate[
    v = Boole[
       Sqrt[1 - cosk^2]*Sqrt[1 - cosk2^2] > Abs[a - cosk*cosk2]]/
      Sqrt[(1 - cosk^2)*(1 - cosk2^2) - (a - 
           cosk*cosk2)^2], {cosk, -1, 1}, {cosk2, -1, 1}, 
    Method -> "LocalAdaptive", 
    EvaluationMonitor :> Sow[{cosk, cosk2, v}]]]]

注意LocalAdaptive 非常慢，但可能是最准确的纯数值结果：

     Graphics@Point[out[[2, 1]][[All, {1, 2}]]]

这里是全局自适应的。

MonteCarlo 只是到处采样，而不考虑被积函数。

您最好的选择可能是使用全局自适应并设置MinRecursion。让自己满意，虚部可以忽略不计，取结果的实部。当然，分析解决您的集成限制并一起消除Boole 会好得多。

【讨论】：