“袋装球体”平面到球体投影答案

【问题标题】："sphere in a bag" plane to sphere projection“袋装球体”平面到球体投影
【发布时间】：2011-04-10 19:10:56
【问题描述】：

我正在寻找将 2D 平面 [0,1]x[0,1] 上的点变换到单位球体上的数学变换。

最常见的投影是通过将u 和v 解释为球坐标的角度来进行纬度-经度映射（映射u 到[0,2PI] 和v 到[-PI/2, PI/2]）

这会对球体的两极产生强烈的扭曲。可以将这种变换想象为将球体包裹成糖果纸，并在两端旋转纸。这会在这两端产生扭曲。

我正在寻找的转变可能是将球体放在纸的中间，然后将球体的所有边放在一个点上，然后将它们一起旋转 - 这样你就可以得到一个小纸袋了球体在其中。这会在“袋子”的底部产生最小的失真，而在顶部产生最大的失真 - 如果从下面看，失真在所有方向上都是相等的。

谁能告诉我如何计算这种映射？

【问题讨论】：

2010...哇 - 现在我正在尝试制作这样的东西，我认为这是一个未来，甚至是现在;)

标签： 3d mapping projection texture-mapping

【解决方案1】：

对于你描述的映射，可以使用极坐标：(x,y)-->(r,alpha)，其中r在[0,1]内，表示离中心点的距离之比矩形 O(0.5,0.5) 到当前点 P(x,y)，以及该段在当前 alpha 值处可能具有的最大长度。然后将 r 映射到 [-PI/2, PI/2] 并将 alpha 映射到 [0,2PI]。

【讨论】：

【解决方案2】：

我认为您正在寻找Exponential Map。另见Interactive Decal Compositing with Discrete Exponential Maps。

【讨论】：

【解决方案3】：

正确答案取决于需要保留原件的哪个属性，因为每个不同的地图投影都会以不同的方式扭曲。有些保留区域，有些保留角度，有些保留距离。

假设案例是关于形状的，那么我建议使用Dymaxion map，但请注意它的平面表示不完全是矩形。

有关其他选项，请参阅Colorado University 的列表。

【讨论】：

【解决方案4】：

如果您使用从 0 到 1（即第一象限）的 x-y 轴（即第一象限）绘制问题草图，则使用相同的原点绘制投影的第一个八分圆，其轴从 0 到 pi/2。从原点标记点 (1,1)，然后该点从原点的大小为 root(2)。您现在可以看到您的点 (1,1) 无法映射到球体上，因为它会出现在球体外部。

【讨论】：