计算二叉树中的节点数 O(logn)^2

Question

我有一个问题，我需要在
O((log(n))^2) 的时间复杂度中找到完整树中的节点数，例如（n 的日志）^2，我的目标是
找到h，即h= log n（树的高度，总是向左移动，因为它是一棵完整的树）然后来到h-1的每个节点并检查它是否有一个正确的节点，如果有，那么它必须有一个左节点（因为完整的树），如果它没有然后检查它是否有一个左节点，就像计算节点的数量一样。

问题是我认为是O(n)，因为h = log(n)和这个高度的节点数是2^(h-1)，所以整个过程是O(n)而不是O( (log n)^2)..

的输出
是 12，因为它有 12 个节点，时间复杂度为 O((log n)^2)

非常感谢您的帮助！谢谢。

Answer 1

首先，通过遍历left 指针计算到最左边叶子的距离。然后对right 指针执行相同的操作。如果两个数字都是n，那么你就有了一个有 2^n - 1 个节点的完美树。

否则，它们不相等。然后第一个计数是某个数字n+1，第二个计数是n。我们需要探测 - 正如其他人所说的那样使用二分搜索 - 完整的n-deep 节点层（将根计算为第 1 层）以找到最左边的具有 0 个或 1 个子节点的节点。有 2^(n-1) 个节点要探测。在示例中，n=3，因此我们正在探测 4 个节点。

我们可以通过考虑数字 0..2^(n-1) - 1 中的位来探测该层。在示例中，这是 0..3（即 n-2 位）。在从根到叶的遍历中，0 位表示“向左走”。 1 表示“向右走”。出于下面讨论的原因，您希望使用从根到叶的从最高到最低的位（在示例中，位 1,0）。不难看出，使用 0..2^(n-1) - 1 作为路径遍历“指令”，您将从左到右到达该层中的每个顶点。例如，2 有 10 位。这意味着从根开始，向右然后向左，这会将您带到 F。

但是你当然不想搜索 n 层中的每个顶点，因为这会使你的搜索 O(n)。相反，使用二进制搜索。首先尝试 [0..2^(n-1) - 1] 中点的“指令”。如果您找到 2 个孩子，则将搜索括号减少到大于中点的值。如果您找到 0 个孩子，则价值较小。以这种方式继续，直到找到具有 1 个子节点的节点或括号大小为 1 并且有 0 个子节点。后者意味着您在图层中找到了最左边的节点，没有子节点。

现在我们可以很容易地找到孩子的总数。树的向下到第 n 层的部分有 2^(n-1) - 1 个节点，将您带到最终搜索节点的“指令”告诉您在第 n+1 层中有多少个节点。这些一起告诉你最终的答案。我会让你弄清楚最后的细节。

Answer 2

正如迈克尔告诉你的，你必须以某种方式在你的问题中应用二进制搜索。 所以最简单的方法就是通过这个算法：

1. 首先，正如您所说，我们必须找到一棵树的高度，为此，我们只需直奔最左边的节点即可；

2. 既然我们知道树的高度 H，现在我们可以应用二分查找：

3. 我将描述根的算法，对于每个下一个节点都是相同的：

   每次我们搜索右子树的最左叶。

   因此，如果在高度 H 上有一个叶子，如图所示，则与右孩子重复过程（找到树的右子树的最左边的叶子，其中“根”是节点 C）。

   如果没有叶子，则对根的左孩子重复相同的过程。

正如我们所见，每次我们将问题减少 2 倍。 所以复杂度是 H *（搜索量）= log n * log n