棘手的 Big-O 复杂性

Question

public void foo(int n, int m) {
    int i = m;

    while (i > 100) {
        i = i / 3;
    }
    for (int k = i ; k >= 0; k--) {
        for (int j = 1; j < n; j *= 2) {
            System.out.print(k + "\t" + j);
        }
        System.out.println();
    }
}

我认为复杂度是 O(logn)。
也就是作为内循环的产物，外循环——执行次数永远不会超过100次，所以可以省略。

我不确定的是 while 子句，是否应该将其合并到 Big-O 复杂性中？对于非常大的 i 值，它可能会产生影响，或者算术运算，无论规模多大，都算作基本运算并且可以省略？

Answer 1

while 循环是O(log m)，因为您不断将m 除以3，直到它低于或等于100。

因为 100 在你的情况下是一个常数，所以可以忽略，是的。

正如你所说，内循环是O(log n)，因为你将j乘以2直到它超过n。

因此总复杂度为O(log n + log m)。

还是算术运算，不管是什么规模，都算基本运算，可以省略吗？

算术运算通常可以省略，是的。但是，这也取决于语言。这看起来像 Java，看起来您正在使用原始类型。在这种情况下，可以考虑算术运算O(1)，是的。但是，如果你使用大整数，那就不行了，因为加法和乘法不再是O(1)。

Answer 2

复杂度为 O(log m + log n)。

while 循环执行 log3(m) 次 - 一个常量 (log3(100))。外层 for 循环执行固定次数（大约 100 次），内层循环执行 log2(n) 次。

Answer 3

while 循环将 m 的值除以 3，因此此类操作的数量将为 log(base 3) m

对于 for 循环，您可以将操作数视为 2 个求和 -

求和 (k = 0 到 i) [求和 (j = 0 到 lg n) (1)] 求和 (k = 0 到 i) [lg n + 1] (lg n + 1) ( i + 1) 将是操作的总数，其中对数项占主导地位。

这就是复杂度为 O(log (base3) m + lg n) 的原因 这里的 lg 是指以 2 为底的日志