尾递归与前向递归

Question

谁能告诉我这两种递归和示例之间的区别（特别是在 OCaml 中）？

Answer 1

例如，递归函数 build_word 接受 char list 并将它们组合成一个字符串，即['f'; 'o'; 'o'] 到字符串 "foo"。归纳过程可以这样可视化：

build_word ['f'; 'o'; 'o']
"f" ^ (build_word ['o'; 'o'])
"f" ^ ("o" ^ (build_word ['o'])    // base case! return "o" and fold back
"f" ^ ("o" ^ ("o"))
"f" ^ ("oo")
"foo"

这是一个正常的递归。请注意，每对括号代表一个新的堆栈帧或递归调用。这个问题的解决方案（即“f”、“fo”或“foo”）不能在递归结束之前（满足基本情况）推导出来。只有这样，最后一帧才会将最后一个结果返回到“弹出”之前的上一个结果，反之亦然。

理论上，每次调用都会创建一个新的堆栈框架（或范围，如果您愿意的话）来保存碎片解决方案的“位置”，以便在开始时返回和收集。这会导致stackoverflow（这个链接是递归的）。

尾调用版本如下所示：

build_word ['f'; 'o'; 'o'] ""
build_word ['o'; 'o'], "f"
build_word ['o'] ("f" ^ "o")
build_word [] ("f" ^ "o" ^ "o")
"foo"

在这里，累积的结果（通常存储在称为accumulator 的变量中）被向前传递。通过优化，尾调用不必创建新的堆栈帧，因为它不必维护以前的堆栈帧。解决方案是“向前”而不是“向后”解决。

这里有两个版本的build_word 函数：

无尾

let build_word chars = 
  match chars with
  | [] -> None
  | [c] -> Some Char.to_string c
  | hd :: tl -> build_word tl
;;

尾巴

let build_word ?(acc = "") chars =
  match chars with
  | [] -> None
  | [c] -> Some Char.to_string c
  | hd::tl -> build_word ~acc:(acc ^ Char.to_string hd) tl
;;

@sepp2k 接受的答案很好地解释了前向递归。

Answer 2

尾递归函数是一个函数，其中唯一的递归调用是函数中的最后一个。非尾递归函数是不是这种情况的函数。

向后递归是在每次递归调用中参数的值小于上一步的递归。前向递归是一种递归，它每一步都会变大。

这是两个正交的概念，即前向递归可能是尾递归，也可能不是尾递归，这同样适用于后向递归。

例如，阶乘函数在命令式语言中通常是这样编写的：

fac = 1
for i from 1 to n:
    fac := fac * i

阶乘的常见递归版本向后计数（即，它以n-1 作为参数调用自身），但是如果您直接翻译上述命令式解决方案，您会想出一个向上计数的递归版本。它看起来像这样：

let fac n =
  let rec loop i =
    if i >= n
    then i
    else i * loop (i+1)
  in
    loop 1

这是一个前向递归，你可以看到它比后向递归变体稍微麻烦一些，因为它需要一个辅助函数。现在这不是尾递归，因为loop 中的最后一个调用是乘法，而不是递归。所以要让它尾递归，你会做这样的事情：

let fac n =
  let rec loop acc i =
    if i >= n
    then acc
    else loop (i*acc) (i+1)
  in
    loop 1 1

现在这既是前向递归又是尾递归，因为递归调用是 a) 尾调用和 b) 以更大的值调用自身 (i+1)。

Answer 3

这是一个尾递归阶乘函数的示例：

let fac n =
let rec f n a =
    match n with
    0 -> a
    | _ -> f (n-1) (n*a)
in
f n 1

这是它的非尾递归对应物：

let rec non_tail_fac n =
match n with
0 -> 1
| _ -> (non_tail_fac n-1) * n

尾递归函数使用累加器 a 来存储上一次调用的结果值。这允许 OCaml 执行尾调用优化，从而导致堆栈不溢出。通常，尾递归函数会利用累加器值来进行尾调用优化。