尾递归调用尾递归答案

【问题标题】：Tail recursion calling tail recursion尾递归调用尾递归
【发布时间】：2016-03-21 17:32:41
【问题描述】：

我正在尝试用尾递归解决帕斯卡三角形。我理解做尾递归，函数调用语句应该是最后一条指令。喜欢这里：

(defn pascal [line colum, acc]
  (if (or (= line 0) (= line colum) (= colum 0))
    (+ acc 1)
    (recur (dec line) colum
           (pascal (dec line) (dec colum), acc))))

我的问题是：由于我使用递归调用作为递归的参数，它仍然有效吗？

因为我无法替换这个：

(recur (dec line) colum
       (pascal (dec line) (dec colum), acc))))

到这里：

(recur (dec line) colum
       (recur (dec line) (dec colum), acc))))

最好的问候

【问题讨论】：

标签： recursion clojure functional-programming tail-recursion

【解决方案1】：

也许我的回答与递归无关，而且这个问题与 @Sylwester 的回答完全不同，但展示解决此问题的另一种方法仍然很有用。

假设帕斯卡三角形具有以下性质：

帕斯卡三角形每一行的第一项和最后一项都是'1'
第二个也是倒数第二个是行数
任何其他元素都可以通过公式解决：

这意味着，您可以通过时间复杂度 O(n^3) 的线性算法求解帕斯卡三角形的任何元素。它可能并不比具有 O(n^2) 和递归的递归版本酷，但它不会破坏堆栈并且它使用组合，在我看来这更好，因为它更简单和更安全的版本。所以，我们开始吧：

(defn naive-factorial[n]
  (reduce *' (range 1 (inc n))))

(defn combinatoric-formula[line pos]
  (if (<= pos line)
    (/ 
     (naive-factorial line) 
     (*' (naive-factorial pos) 
         (naive-factorial (- line pos))))))

如您所见，使用了 naive-factorial 函数，该函数采用 n 乘法，导致我们得到 O(n^3)。它与您的函数相同，但没有任何递归。

对于帕斯卡三角形，也有不止一种方法可以用不同的方式解决它们。有的很刁钻，有空的可以看看：rosettacode.org

此外，在您使用 + 在 clojure 中使用 int 数学的版本中，请在任何可能导致大量数字的情况下使用 +' 函数（假设这意味着添加将导致转换您的值到 biginteger 类型，这允许非常大的数字）。

我还将 @Sylwester 介绍的方案版本翻译成 clojure：

(defn pascal [row col]
  (let [aux  
        (fn aux [tr tc prev acc]
          (cond (> tr row) (throw (.Exception "invalid input"))         
                (and (= col tc) (= row tr)) (+' (first prev) (second prev)); the next number is the answer
                (= tc tr) (recur (+' tr 1) 1 (cons 1 acc) '(1))                  ; new row 
                :else (recur tr               ; new column
                           (+' tc 1) 
                           (next prev)
                           (cons (+' (first prev) (second prev)) acc))))]
    (if (or (zero? col) (= col row))
      1
      (aux 2 1 '(1 1) '(1)))))

它也许可以改进，但显示了这个想法。它计算了从第三行到上一个提供的输入的整个三角形，然后得到答案。功能方法非常棒和纯粹的魔力。

这个版本的性能比线性版本差很多。所以它得到：

(time (combinatoric-formula 1000 100))
"Elapsed time: 2.73794 msecs" for linear version

(time (pascal 1000 100))
"Elapsed time: 135.426888 msecs" for tail recursion version

但它仍然更清洁和凉爽;）

【讨论】：

太棒了！由于line-pos <= pos <= line 可以创建一个阶乘函数来获取先前的答案并继续计算。当你可以做到 O(row) 时，没有理由以我的方式浪费 cpu 循环。回到数学是:-)

【解决方案2】：

只有一半的调用是通过尾递归进行的，所以另一半可能会破坏堆栈。对比一下：

(defn factorial (n) 
  (if (= n 1)
      1
      (* n (factorial (n - 1)))))

这里(factorial (n - 1)) 需要在延续(* n <result>) 之前完成，这是一个堆栈帧，在递归运行时等待。

总比没有尾随要好，但如果都是和it is possible!

【讨论】：