拉普拉斯滤波器是如何计算的？答案

【问题标题】：how is Laplacian filter calculated?拉普拉斯滤波器是如何计算的？
【发布时间】：2019-05-01 20:50:21
【问题描述】：

我并没有真正理解他们是如何得出导数方程的。有人可以详细解释一下，甚至可以提供一个有足够数学解释的地方的链接吗？

拉普拉斯滤波器看起来像

【问题讨论】：

第 2 行是 x 导数，第 2 列是 y 导数，所以当你把它们都加起来时，它就会变成矩阵之上，即f(x+1,y) + f(x-1,y) -2f(x,y) + f(x,y+1) + f(x,y-1) - 2f(x,y)
我知道，我的问题是为什么这毕竟代表拉普拉斯算子的二阶导数？

【解决方案1】：

拉普拉斯先生提出了这个等式。这就是拉普拉斯算子的简单定义：二阶导数之和（您也可以将其视为Hessian matrix 的迹线）。

您展示的第二个等式是finite difference approximation 的二阶导数。这是您可以对离散（采样）数据进行的最简单的近似。导数定义为斜率（来自Wikipedia 的方程）：

在离散网格中，最小的h 是 1。因此导数是f(x+1)-f(x)。这个导数，因为它使用x 和右边的像素，引入了半像素偏移（即你计算这两个像素之间的斜率）。要获得 2^nd 阶导数，只需计算导数结果的导数：

f'(x) = f(x+1) - f(x)
f'(x+1) = f(x+2) - f(x+1)

f"(x) = f'(x+1) - f'(x)
      = f(x+2) - f(x+1) - f(x+1) + f(x)
      = f(x+2) - 2*f(x+1) + f(x)

因为每个导数都会引入半像素偏移，所以 2^nd 阶导数最终会产生 1 像素偏移。所以我们可以将输出左移一个像素，从而没有偏差。这导致序列f(x+1)-2*f(x)+f(x-1)。

计算这个二阶导数与使用过滤器[1,-2,1] 进行卷积相同。

应用这个过滤器，以及它的转置，并添加结果，相当于与内核进行卷积

[ 0, 1, 0       [ 0, 0, 0       [ 0, 1, 0
  1,-4, 1    =    1,-2, 1    +    0,-2, 0
  0, 1, 0 ]       0, 0, 0 ]       0, 1, 0 ]

【讨论】：

谢谢。你能提供你从哪里得到方程吗？
所以浏览维基百科页面似乎他们正在采用“二阶中心”，它解释了函数内部的 + 和 - 符号！
@wisdom: h 是步长。在离散情况下它设置为 1。导数是关于x。一阶离散导数引入了 1/2 像素右移，因此选择二阶一阶导数左移一个像素，导致二阶导数没有偏移。我将在答案中添加一些文字来解释这一点。