皮尔逊相关系数答案

【问题标题】：Pearson correlation coefficent皮尔逊相关系数
【发布时间】：2021-08-29 17:36:22
【问题描述】：

我的这个问题与 Matlab 没有密切关系，但与之相关：我正在寻找如何以一些重要的方式填充矩阵[[a,b,c],[d,e,f]]，以便尽可能多的地方

corrcoef([a,b,c],[d,e,f])

为零。在大多数情况下，我的尝试会产生 NaN 结果。

【问题讨论】：

您是否想要绝对零相关性，或者您是否正在寻找方法来生成两个向量，以使它们的相关性平均接近于零？两个向量的长度都像您的示例中那样为 3 还是大小可变？您是否意识到“尽可能多的地方”恰好意味着 2，因为对角线元素的相关性必然为 1？
@sg1234 我想要绝对零相关性。长度 3 可以让我想象 defined 相关性 0 如何适用于更长的向量。 $n\geq 3$ 是从练习 4.6.9 here 获得的最小长度。是的，我意识到在 3x3 的各个 9 个地方的 6 是最大的，我在这里的 $6=9-3$ 是否正确？我只是想了解 Pearson 样本相关系数 为 0 时的概念。

标签： matlab statistics correlation pearson-correlation

【解决方案1】：

鉴于当前的 cmets，您正试图了解来自两个分布的两个随机抽取序列如何具有零相关性。具体来说，您提到的练习 4.6.9 来自两个正态分布。

您的方法的一个问题是您希望在理论属性和实验之间建立联系，在这种情况下使用 Matlab。而且，正如您似乎已经注意到的那样，除非您正在查看特定的退化案例，否则您的实验将会失败。这是因为尽管练习中真正的相关参数 rho 可能为零，但随机抽取的样本将始终具有某种程度的相关性。这是一个插图，如果您运行它，您会注意到实际相关性跨越了 -1 和 1 之间的整个频谱，尽管它们的平均值为零（因为这两个生成器都是伪不相关的）：

n=1e4;
experiment = nan(n,1);
for i=1:n
    r = corrcoef(rand(4,1),rand(4,1));
    experiment(i)=r(2);
end
hist(experiment);
title(sprintf('Average correlation: %.4f%%',mean(experiment)));

如果您查看wikipedia 中 Pearson 相关性的定义，您会发现它可以为零的唯一方法是当分子为零时，即 E[(X-Xbar)(Y-Ybar)]= 0。尽管这可能是渐近的情况，但您将很难找到在小样本中发生这种情况的非退化情况。尽管如此，为了向您展示您可以推导出一些这样的退化案例，让我们进一步挖掘一下。如果您希望该产品的期望为零，您可以将左侧或右侧部分设为零，而另一个部分不为零。对于一侧为零，平局必须完全等于平局的平均值。因此我们可以想象使用这种技术创建这样一对变量：

我们创建了两个包含 4 个变量的向量，然后交替绘制等于平均值的值。
假设我们希望 X 平均为 1，Y 平均为 2，我们使偶数索引平局等于 X 的平均值，奇数索引平局等于 Y 的平均值。
这样的一代是：X=[0,1,2,1], Y=[2,0,2,4]，您可以检查corrcoef([0,1,2,1],[2,0,2,4]) 确实产生了一个单位矩阵。这是因为，每当 X 的一个分量不同于其平均值 1 时，Y 中的分量就等于其平均值 2。
另一个示例，其中 X 的平均值为 3，Y 的平均值为 4：X=[3,-5,3,11]，Y=[1008,4,-1000,4]。等

如果您想知道如何完全从不相关的分布中创建样本，那将是完全不同的问题，尽管（也许）在理解统计数据方面更有趣。如果这是您的情况，并且鉴于您提到的练习讨论了正态分布，我建议您看看使用 Box-Muller 转换生成对立变量。

随机化快乐！

【讨论】：

终于有人完全理解了我想要做什么和saved me。如果您是一名优秀的统计学家，您可能会对 this question 感兴趣，因为未知原因将关闭它。
@user2925716：如果这个答案“救了你”，你至少可以点赞并接受。
@user2925716：感谢您的积极反馈。不幸的是，你最初的数学问题似乎超出了我的血统......因为这似乎来自一门课程，知道这一章的内容将为使用哪些方法提供线索。在不知道的情况下，我的第一种方法可能是在一些蛮力代数上折断几颗牙齿之后，可能会查看生成的特征函数，看看它是否与学生分布的特征函数匹配。如果在那一章讨论“特征函数”，那么这将强烈指向这个方向。
@sg1234 我想知道（为了满足我的好奇心）是否有其他（短）向量具有定义为零的皮尔逊相关性，而不是已经出现的这种类型的向量：作为 X 平均 1 与 Y 平均 2 交替？
@user2925716 参见。公式：协方差的分子是产品的期望值，即 X 每次抽取的值减去它的平均值，乘以 Y 的每次抽取值减去它的平均值（期望也包括概率，但我只假设事件概率> 0，因此实际概率与寻找零分子无关）。乘积为零的唯一方法是当乘法的一侧或两侧为零时。因此有很多方法可以构建这样的例子，但它们都依赖于这个原则，afaict。