Matlab - 笛卡尔点的标准偏差答案

【问题标题】：Matlab - Standard Deviation of Cartesian PointsMatlab - 笛卡尔点的标准偏差
【发布时间】：2012-09-26 00:35:21
【问题描述】：

我有一个笛卡尔点数组（第 1 列是 x 值，第 2 列是 y 值），如下所示：

我将如何获得分数的标准差？它将与平均值进行比较，平均值是一条直线。这些点不是那条直线，因此标准差描述了线段与直线的波浪或“偏离基准”程度。

非常感谢您的帮助。

【问题讨论】：

好吧，您是否需要“标准偏差”（无论如何都不是在 2D 中定义的）？因为在这种情况下更自然的是绘制一条最佳拟合线并使用 R^2 值（确定系数）来描述数据与直线的“离基”程度。
你能给我一个例子来说明我将如何做到这一点吗？假设最佳拟合线在点 300,500 和 310,550 之间。
对不起，额外的回复，但基本上我试图确定通过这些点的线段是直的还是弯曲的，并找到一种量化它的方法。
暂时用这个，我明天再来en.wikipedia.org/wiki/Coefficient_of_determination
但是，如果您的意思是通过所有这些点，R^2 是用于量化线性拟合的非精确性的标准值。如果您的意思是通过两点的弧是否弯曲，您可以根据需要将通过两点的弧弯曲，所以它没有多大意义

【解决方案1】：

如果您确定xy 数据描述的是一条直线，您可以执行以下操作。

找到最佳拟合直线等于在最小二乘意义上求解超定线性系统Ax = b，其中

xy = [
308 522
307 523
307 523
307 523
307 523
307 523
306 523];

x_vals = xy(:,1);
y_vals = xy(:,2);

A = [x_vals ones(size(x_vals))];
b = y_vals;

这可以像这样在 Matlab 中完成：

sol = A\b;

m = sol(1);
c = sol(2);

我们现在所做的是找到m 和c 的值，以便等式y = mx+c 描述的线最适合您提供的数据。这条最适合的线并不完美，所以它有错误w.r.t。 y 数据：

errs = (m*x_vals + c) - y_vals;

这些误差的标准差可以这样计算：

>> std(errs)
ans = 
    0.2440

如果你想使用直线的垂直距离（欧几里得距离），你必须包括一个几何因子：

errs = (m*x_vals + c) - y;
errs_perpendicular = errs * cos(atan(m));

使用 trig 身份，可以将其返工为

errs_perpendicular = errs * 1/sqrt(1+m*m);

当然，

>> std(errs_perpendicular)
ans = 
    0.2182

如果您不确定直线是否适合数据和/或您的 xy 数据本质上描述了某个公共中心周围的点云，您可以执行以下操作。

找到质心（COM）：

COM = mean(xy);

所有点到COM的距离：

dists = sqrt(sum(bsxfun(@minus, COM, xy).^2,2));

及其标准差：

>> std(dists)
ans =  
    0.5059

【讨论】：

+1 - 好答案。我唯一不同的是测量线和点之间的欧几里得距离，而不仅仅是 Y 维度上的距离
非常感谢您的回答。它给了我标准偏差（我正在做直线部分）。是否更适合使用决定系数来识别直线？
@Andrey 想一想，上面的最小二乘拟合也是使用 y 距离完成的，所以理想情况下，如果你要使用垂直距离，你也必须垂直合身。对于这个问题，我想这有点太复杂了......

【解决方案2】：

一组二维值的平均值是另一个二维值，即它是一个点，而不是一条线。我相信这个点也被称为质心。

在这种情况下，标准差是什么并不完全清楚，但我认为根据与平均值的距离来定义它是有意义的。

【讨论】：