左矩阵除法和 Numpy 求解答案

【问题标题】：Left Matrix Division and Numpy Solve左矩阵除法和 Numpy 求解
【发布时间】：2011-11-01 21:00:34
【问题描述】：

我正在尝试将包含 \ 运算符的代码从 Matlab (Octave) 转换为 Python。示例代码

B = [2;4]
b = [4;4]
B \ b

这有效并产生 1.2 作为答案。使用此网页

http://mathesaurus.sourceforge.net/matlab-numpy.html

我把它翻译成：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print lin.solve(B,b)

这给了我一个错误：

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: Array must be square

Matlab \ 如何与 B 的非方阵一起工作？

有什么解决办法吗？

【问题讨论】：

标签： python matlab numpy octave linear-algebra

【解决方案1】：

你可以形成左逆：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])

B_linv = lin.solve(B.T.dot(B), B.T)
c = B_linv.dot(b)
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

实际上，我们可以简单地运行一次求解器，而无需形成逆运算，如下所示：

c = lin.solve(B.T.dot(B), B.T.dot(b))
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

....和以前一样

为什么？因为：

我们有：

乘以B.T，得到：

现在，B.T.dot(B) 是正方形，满秩，确实有逆。因此，我们可以乘以 B.T.dot(B) 的倒数，或者使用上述求解器得到 c。

【讨论】：

【解决方案2】：

当使用 \ 运算符时，Matlab 实际上会执行许多不同的操作，具体取决于所涉及的矩阵的形状（有关详细信息，请参阅here）。在您的示例中，Matlab 正在返回一个最小二乘解，而不是像方阵那样直接求解线性方程。要在 numpy 中获得相同的行为，请执行以下操作：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print np.linalg.lstsq(B,b)[0]

它应该为您提供与 Matlab 相同的解决方案。

【讨论】：

【解决方案3】：

来自MathWorks documentation的左矩阵除法：

如果 A 是一个 m×n 矩阵，m ~= n，B 是一个列向量，m 组件，或具有多个此类列的矩阵，则 X = A\B 是对欠定或超定的最小二乘法解方程组 AX = B。换句话说，X 最小化 norm(A*X - B)，矢量 AX - B 的长度。

numpy 中的等价物是np.linalg.lstsq:

In [15]: B = np.array([[2],[4]])

In [16]: b = np.array([[4],[4]])

In [18]: x,resid,rank,s = np.linalg.lstsq(B,b)

In [19]: x
Out[19]: array([[ 1.2]])

【讨论】：