numpy.polyfit 与 numpy.polynomial.polynomial.polyfit

Question

为什么numpy.polyfit和numpy.polynomial.polynomial.polyfit 在下面的测试中产生不同的图？

import numpy as np
from numpy.polynomial.polynomial import polyfit
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 10, 50)
y = 5 * x + 10 + (np.random.random(len(x)) - 0.5) * 5

plt.scatter(x, y,marker='.', label='Data for regression')
plt.plot(x, np.poly1d(np.polyfit(x, y, 1))(x), label='numpy.polyfit')
plt.plot(x, np.poly1d(polyfit(x, y, 1))(x), label='polynomial.polyfit')
plt.legend()
plt.show()

Answer 1

乍一看，文档似乎表明它们应该给出相同的结果 -

numpy.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None, cov=False)

最小二乘多项式拟合。

将度为 deg 的多项式 p(x) = p[0] * x**deg + ... + p[deg] 拟合到点 (x, y)。返回一个系数向量 p，以 deg, deg-1, ... 0 的顺序最小化平方误差。

和

numpy.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, deg, rcond=None, full=False, w=None)

多项式与数据的最小二乘拟合。

返回 deg 多项式的系数，该多项式是与在点 x 处给定的数据值 y 拟合的最小二乘。如果 y 是一维的，则返回的系数也将是一维的。如果 y 是 2-D 多次拟合，则对 y 的每一列进行一次拟合，结果系数存储在 2-D 返回的相应列中。拟合多项式的形式为

p(x) = c₀ + c₁ * x + ... + c_n * xⁿ

但区别在于两种方法返回的系数的顺序，至少对于所讨论的用例而言。

• numpy.polyfit 根据生成方程以降序的程度返回系数
  p(x) = c_n * xⁿ + c_(n-1) * x^{(n-1) sup> + ... + c₁ * x + c₀}
• numpy.polynomial.polynomial.polyfit 根据生成方程以 升序 的程度返回系数
  p(x) = c₀ + c₁ * x + ... + c_(n-1) * x^{( n-1)} + c_n * xⁿ

虽然在数学上相同，但这两个方程在ndarray 表示中并不相同。这可能会因在文档中使用不同的符号而被混淆。为了演示，请考虑以下

import numpy as np

x = np.linspace(0, 10, 50)
y = x**2 + 5 * x + 10

print(np.polyfit(x, y, 2))
print(np.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, 2))

[ 1.  5. 10.]
[10.  5.  1.]

两种方法得到相同的结果，但顺序相反，前者是np.poly1d() 所期望的，

print(np.poly1d(np.polyfit(x, y, 2)))
print(np.poly1d(np.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, 2)))

   2
1 x + 5 x + 10
    2
10 x + 5 x + 1

后者是 np.polynomial.polynomial.Polynomial() 构造函数所期望的。，

print(np.polynomial.polynomial.Polynomial(np.polynomial.polynomial.polyfit(x, y, 2)))
print(np.polynomial.polynomial.Polynomial(np.polyfit(x, y, 2)))

poly([10.  5.  1.])  # 10 + 5 * x + 1 * x**2
poly([ 1.  5. 10.])  # 1 + 5 * x + 10 * x**2

Flipping 将来自np.polynomial.polynomial.polyfit 的结果传递给poly1d() 或使用np.polynomial.polynomial.Polynomial 将产生预期的结果：