未定线性系统的随机解

Question

考虑一个欠定线性方程组Ax=b。

我想找到一组向量x_1, ..., x_n，这样它们都可以解决Ax=b，并且它们之间尽可能地不同。

第二部分实际上不太重要；我会很高兴每次调用它时都会返回一个随机解 Ax=b 的算法。

我知道scipy.sparse.linalg.lsqr 和numpy.linalg.lstsq 返回一个欠定线性系统Ax=b 的稀疏解（根据最小二乘），但我不关心解的属性；我只想要Ax=b的任何解决方案，只要我能生成一堆不同的解决方案。

事实上，scipy.sparse.linalg.lsqr 和numpy.linalg.lstsq 应该遵循一个迭代过程，从一个解决方案跳到另一个解决方案，直到他们找到一个似乎是最小二乘法最小值的解决方案。那么，是否有一个 python 模块可以让我在没有特定目标的解决方案之间跳转并返回它们？

Answer 1

这是我评论附带的代码。它使用来自Scipy Cookbook 的rank_nullspace.py 模块。

import numpy as np
from numpy.linalg import lstsq

from rank_nullspace import nullspace
# rank_nullspace from
# http://scipy-cookbook.readthedocs.io/items/RankNullspace.html


def randsol(A, b, num=1, check=False):
    xLS, *_ = lstsq(A, b)

    colsOfNullspace = nullspace(A)
    nullrank = colsOfNullspace.shape[1]
    if check:
        assert(np.allclose(np.dot(A, xLS), b))
        assert(np.allclose(np.dot(A, xLS + np.dot(colsOfNullspace,
                                                  np.random.randn(nullrank))),
                           b))

    sols = xLS[:, np.newaxis] + np.dot(colsOfNullspace,
                                       np.random.randn(nullrank, num))
    return sols


A = np.random.randn(2, 10)
b = np.random.randn(2)
x = randsol(A, b, num=50, check=True)
assert(np.allclose(np.dot(A, x), b[:, np.newaxis]))

通过x 中的一堆解决方案，您可以选择彼此“不同”的解决方案，但您可以定义“不同”。

Answer 2

对于欠定系统 A·x = b，您可以计算系数的null space矩阵A。零空间 Z 是一组跨越 A 子空间的基向量，使得 A·Z = 0。换言之，Z 的列是与 A 中的所有行正交的向量。这意味着对于任何解决方案 x' 到 A·x = b em>，那么 x' + Z·c 也必须是任意任意的解矢量c。

因此，如果您想对 A·x = b 的随机解决方案进行抽样，那么您可以这样做以下：

1. 找到任何解决方案 x' 到 A·x = b em>。您可以使用np.linalg.lstsq 来执行此操作，它会找到一个最小化x' 的L2 范数的解决方案。
2. 找到 A 的零空间。有许多不同的方法可以做到这一点，其中大部分都在 this previous question 中介绍。
3. 采样一个随机向量 c，并计算 x' + Z· c。这将是 A·x = b 的解决方案。

例如：

import numpy as np
from scipy.linalg import qr


def qr_null(A, tol=None):
    """Computes the null space of A using a rank-revealing QR decomposition"""
    Q, R, P = qr(A.T, mode='full', pivoting=True)
    tol = np.finfo(R.dtype).eps if tol is None else tol
    rnk = min(A.shape) - np.abs(np.diag(R))[::-1].searchsorted(tol)
    return Q[:, rnk:].conj()


# An underdetermined system with nullity 2
A = np.array([[1, 4, 9, 6, 9, 2, 7],
              [6, 3, 8, 5, 2, 7, 6],
              [7, 4, 5, 7, 6, 3, 2],
              [5, 2, 7, 4, 7, 5, 4],
              [9, 3, 8, 6, 7, 3, 1]])
b = np.array([0, 4, 1, 3, 2])

# Find an initial solution using `np.linalg.lstsq`
x_lstsq = np.linalg.lstsq(A, b)[0]

# Compute the null space of `A`
Z = qr_null(A)
nullity = Z.shape[1]

# Sample some random solutions
for _ in range(5):
    x_rand = x_lstsq + Z.dot(np.random.rand(nullity))
    # If `x_rand` is a solution then `||A·x_rand - b||` should be very small
    print(np.linalg.norm(A.dot(x_rand) - b))

示例输出：

3.33066907388e-15
3.58036167305e-15
4.63775652864e-15
4.67877015036e-15
4.31132637123e-15

可能的 c 向量的空间是无限的 - 您必须选择如何对这些进行采样。