如何从整数范围生成正态分布随机数？

Question

给定一个整数范围的开始和结束，我如何计算这个范围之间的正态分布随机整数？

我意识到正态分布进入 -+ 无穷大。我猜尾巴可以被截断，所以当随机计算超出范围时，重新计算。这提高了该范围内整数的概率，但只要这种影响是可以容忍的（

public class Gaussian
{
    private static bool uselast = true;
    private static double next_gaussian = 0.0;
    private static Random random = new Random();

    public static double BoxMuller()
    {
        if (uselast) 
        { 
            uselast = false;
            return next_gaussian;
        }
        else
        {
            double v1, v2, s;
            do
            {
                v1 = 2.0 * random.NextDouble() - 1.0;
                v2 = 2.0 * random.NextDouble() - 1.0;
                s = v1 * v1 + v2 * v2;
            } while (s >= 1.0 || s == 0);

            s = System.Math.Sqrt((-2.0 * System.Math.Log(s)) / s);

            next_gaussian = v2 * s;
            uselast = true;
            return v1 * s;
        }
    }

    public static double BoxMuller(double mean, double standard_deviation)
    {
        return mean + BoxMuller() * standard_deviation;
    }

    public static int Next(int min, int max)
    {
        return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 1.0); 
    }
}

我可能需要将标准偏差相对于范围进行一些缩放，但不明白如何。

答案：

    // Will approximitely give a random gaussian integer between min and max so that min and max are at
    // 3.5 deviations from the mean (half-way of min and max).
    public static int Next(int min, int max)
    {
        double deviations = 3.5;
        int r;
        while ((r = (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, (max - min) / 2.0 / deviations)) > max || r < min)
        {
        }

        return r;
    }

Answer 1

如果 Box-Muller 方法返回“标准”正态分布，它的均值为 0，标准差为 1。要转换标准正态分布，将随机数乘以 X 得到标准差 X，然后添加如果我没记错的话，Y 来获得平均 Y。

请参阅Wikipedia article's section on normalizing standard normal variables (property 1) 以获得更正式的证明。

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根据您的评论，经验法则是 99.7% 的正态分布将在标准偏差的 +/- 3 倍范围内。例如，如果您需要从 0 到 100 的正态分布，那么您的平均值将是一半，您的 SD 将是 (100/2)/3 = 16.667。因此，无论您从 Box-Muller 算法中得到什么值，乘以 16.667 以“拉伸”分布，然后加上 50 使其“居中”。

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约翰，作为对您最新评论的回应，我真的不确定Next 函数的意义何在。它始终使用 1 的标准差和最小值和最大值之间的平均值。

如果您想要 Y 的平均值，大约 99.7% 的数字在 -X 到 +X 范围内，那么您只需调用 BoxMuller(Y, X/3)。

Answer 2

嗯，-2*sigma..+2*sigma 将为您提供 95% 的钟形曲线。 （查看已经提到的 wiki 文章中的“标准差和置信区间”部分）。

所以修改这块：

return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 1.0);

并将 1.0（标准偏差）更改为 2.0（如果您想要超过 95% 的覆盖率，甚至可以更大）

return (int)BoxMuller(min + (max - min) / 2.0, 2.0);