给定一个变量的均匀分布，使用随机变量的函数来绘制概率密度函数 MATLAB

Question

我有一个关于使用 MATLAB 求概率密度函数的问题。问题是关于重力g = 9.8 m/s和速度v = sqrt(980) m/s的炮弹射程。角度，theta，是一个在 0 和 pi/2 之间均匀分布的随机变量。我必须使用随机变量的函数和弹丸的平均距离来绘制 theta 的均匀分布和范围 fr(r) 的概率密度函数。

到目前为止，我已经使用物理学中的方程 r = V^2*sin(2*theta)/g 来计算均值和 sigma。 sigmatheta = (pi/2)/sqrt(12) 和 meantheta = pi/2/2 简化方程，r = 100*sin(2*theta)。我知道均匀分布，ftheta(theta) 从 0 到 pi/2 并等于 2/pi, .6366。以下代码作为均匀和概率密度函数绘图的示例。我已经替换了我认为与这个特定问题有关的数字。使用公式 g(meantheta) + sigmatheta^2/2 *(g''(meantheta))，r 的平均值应该是 58.87，但绘图显示为 63.65，所以我已经看到代码中可能存在一些错误或者我对问题的理解。 fr(r) 是弹丸射程的概率密度图。

均匀分布图正确，但概率密度函数似乎有误。我想知道是否可以得到一些帮助来修复它。

附言抱歉，背景信息太长 谢谢！

samp_num=1000000;
xmin =0;                    %xmin for uniform distribution, a x is theta
xmax=pi/2;                  %xmax for uniform distribution, b
deltx=xmax-xmin;            %difference between xmax,xmin, pi/2, b-a
x=xmin+((deltx)*rand(1,samp_num));%numbers between 0 and pi/2
y=(100*sin(2.*x));          %g(x)=y=100*sin(2*x) y is range
ymax=(100*sin(2.*xmax));    %g(pi/2), g(b)
ymin=(100*sin(2.*xmin));    %g(0), g(a)
delty=ymax-ymin;            %g(b)-g(a)
mean_x=mean(x);             %ux
std_x=std(x);               %sigmax
mean_y=mean(y);             %uy
std_y=std(y);
bin_sizex=deltx/100;
binsx=[xmin:bin_sizex:xmax];
u=hist(x,binsx);
u1=u/samp_num/bin_sizex;
bin_sizey=delty/100;
binsy=[ymin:bin_sizey:ymax];
v=hist(y,binsy);
v1=v/samp_num/bin_sizey;
sum_v1=sum(v1)*bin_sizey;
subplot(2,1,1)
bar(binsx,u1)
legend(['mean=',num2str(mean_x),'std=',num2str(std_x)]);
subplot(2,1,2)
bar(binsy,v1)
legend(['mean=',num2str(mean_y),' std=',num2str(std_y)]);

Answer 1

您的ymax 是100*sin(pi)，即0，与ymin 相同。所以你的第二个直方图分箱不正确。我已经解决了这个问题，以及您代码中的其他一些问题。

但它不起作用的原因是另一个问题。您通过将函数应用于角度的预期来计算距离的预期值。这是不正确的，因为函数不是线性的，所以63.65 是（大约）正确的期望值（即200/pi=65.66...）。

samp_num=1000000;
N=100
xmin=0;                     %xmin for uniform distribution, a x is theta
xmax=pi/2;                  %xmax for uniform distribution, b
deltx=xmax-xmin;            %difference between xmax,xmin, pi/2, b-a
x=xmin+(deltx)*rand(1,samp_num);%numbers between 0 and pi/2
y=100*sin(2.*x);            %g(x)=y=100*sin(2*x) y is range
ymax=max(y);                %g(pi/2), g(b)
ymin=min(y);                %g(0), g(a)
delty=ymax-ymin;            %g(b)-g(a)
mean_x=mean(x);             %ux
std_x=std(x);               %sigmax
mean_y=mean(y);             %uy
std_y=std(y);
[u,binsx]=hist(x,N);
u1=u/samp_num/(deltx/(N));
[v,binsy]=hist(y,N);
v1=v/samp_num/(delty/(N));
subplot(2,1,1)
bar(binsx,u1)
legend(['mean=',num2str(mean_x),'std=',num2str(std_x)]);
subplot(2,1,2)
bar(binsy,v1)
legend(['mean=',num2str(mean_y),' std=',num2str(std_y)]);