从二叉搜索树构建 AVL 树

Question

我需要建议一种算法，该算法采用 BST（二叉搜索树）T1，具有 2^(n + 1) - 1 键，并构建具有相同键的 AVL 树。该算法在最差和平均时间复杂度方面应该是有效的（作为n 的函数）。

我不确定我应该如何处理这个问题。很明显，具有2^(n + 1) - 1 键的 BST 的最小大小是 n（如果它是完整的/平衡的，情况就是如此），但它对我有什么帮助？

有一种直接的方法是遍历树，每次将 T1 的根添加到 AVL 树中，然后将其从 T1 中删除：

• 由于T1 可能不平衡，因此在最坏的情况下删除可能会花费 O(n)
• 插入 AVL 将花费 O(log n)
• 有2^(n + 1) - 1

所以总的来说，这将花费O(n*logn*2^n)，而且非常昂贵。

但是我为什么要从T1 中删除呢？我在那里付出了很多，没有充分的理由。 所以我想为什么不使用树遍历 T1 ，并且对于我正在访问的每个节点，将其添加到 AVL 树中：

• 有2^(n + 1) - 1 节点，因此遍历将花费O(2^n)（访问每个节点一次）
• 每次将当前节点添加到 AVL 将花费 O(logn)

因此总共将花费O(logn * 2^n)。 这是我能想到的最好的时间复杂度，问题是，它可以以更快的方式完成吗？就像O(2^n) 一样？ 某种方式可以使插入到 AVL 树的成本仅为 O(1)？

我希望我很清楚，我的问题属于这里。

非常感谢，

诺姆

Answer 1

有一种算法可以平衡 BST 并以线性时间运行，称为 Day Stout Warren Algorithm

基本上它所做的只是通过执行中序遍历（O(n)）将 BST 转换为排序数组或链表。然后，它递归地获取数组的中间元素，使其成为根，并使其子元素分别成为左右子数组的中间元素（O（n））。这是一个例子，

       UNBALANCED BST
            5
          /   \
         3     8
              / \
             7   9
            /     \
           6      10


        SORTED ARRAY
      |3|5|6|7|8|9|10|

现在这里是递归调用和结果树，

 DSW(initial array)

             7
 7.left = DSW(left array) //|3|5|6|
 7.right = DSW(right array) //|8|9|10|

             7
            / \
           5   9
 5.left = DSW(|3|)
 5.right = DSW(|6|)
 9.left = DSW(|8|)
 9.right = DSW(|10|)

             7
            / \
           5   9
          / \ / \
         3  6 8 10