计算相同对的数量答案

【问题标题】：Count number of identical pairs计算相同对的数量
【发布时间】：2015-06-14 20:45:26
【问题描述】：

数组中相同的一对是 2 个索引 p,q 使得

0<=p<q<N 和 array[p]=array[q] 其中N 是数组的长度。

给定一个未排序的数组，找出数组中相同的对数。

我的解决方案是按值对数组进行排序，跟踪索引。

然后对于排序数组中的每个索引p，计算所有q<N，这样和

sortedarray[p].index < sortedarray[q].index and 
sortedarray[p] = sortedarray[q]

这是正确的方法吗？我认为复杂性是

O(N log N) for sorting based on value  +

O(N^2) for counting the newsorted array that satisfies the condition.

这意味着我仍在查看O(N^2)。有没有更好的办法？

另一个想法是，对于每个 P 二分查找满足条件的所有 Q 的排序数组。这不会将第二部分的复杂性降低到O(Nlog(N))

这是我的第二部分代码

    for(int i=0;i<N;i++){

                    int j=i+1;

            while( j<N && sortedArray[j].index > sortedArray[i].index &&
                   sortedArray[j].item == sortedArray[i].item){

                        inversion++;
                        j++;
            }
      }
   return inversion;

@Edit：我想，我把第二部分的复杂性误认为是O(N^2)。

在 while 循环中的每次迭代中，不会重新扫描索引 0-i 中的元素，扫描排序数组以计算反转需要线性时间。因此，总复杂度为

O(NlogN) 用于排序，O(N) 用于排序数组中的线性扫描计数。

【问题讨论】：

由于排序会将相等的值放在一起，因此您无需检查所有q，只需检查p 附近的那些。如果您使用稳定的排序算法，您甚至不需要执行第一次测试。
正确，我需要检查 p 附近的值，对于 0
数组已排序这一事实意味着您可以一次扫描它。所以不是 O(n^2) 而是 O(n)。作为一个反例，插入排序是 O(n^2)，因为对于每个元素，它必须扫描整个数组。
@mdm，能否请您参考我的第二部分代码，可能是我错过了您的观点，但我仍然觉得第二部分应该具有二次时间复杂度。
@SREEPRASADGOVINDANKUTTY 有一个平方数的对，但您可以在 O(n) 中计算它

标签： algorithm sorting

【解决方案1】：

我一直在考虑这个......我认为如果你将== 条件“嵌入”到你的排序算法中，那么复杂度仍然是 O(n lg n)。

【讨论】：

【解决方案2】：

如果您可以分配更多内存，您可以获得一些收益。

您可以通过使用哈希表来访问O(n)，该哈希表将数组中的任何值映射到一个计数器，该计数器指示您看到该值的频率。

如果允许值的数量是整数并且在有限的范围内，您可以直接使用数组而不是哈希表。价值指数i 是i 本身。在这种情况下，复杂度将是O(n+m)，其中m 是允许值的数量（因为您必须首先将数组中的所有条目设置为0，然后查看所有数组条目以计算对数）。

这两种方法都会为您提供数组中每个值的相同值的数量。我们称这个数字nv_i 为值i 在数组中出现的次数。那么值i的对数为：(nv_i)*(nv_i-1)/2。

你可以配对：

1st  i with nv_i-1 others
2nd  i with nv_i-2 others
...
last i with 0

还有(nv_i-1)+(nv_i-2)+...+0 = (nv_i)*(nv_i-1)/2

【讨论】：

我们是否需要另一个哈希映射，不会线性扫描给我满足条件的索引计数。请参考我的代码和 TIm 和 mdm 的 cmets
@SREEPRASADGOVINDANKUTTY 如果对数组进行排序，则不需要哈希图。您可以遍历数组并计算nv_i。但是 hashmap 会给你所有的nv_i 而无需排序。因此，整个算法从 O(n*log(n)) 变为 O(n)。
你是如何更新计数器的？由于指标和值的条件可能不满足，因此不能是值被视为频率的频率。
@SREEPRASADGOVINDANKUTTY 是的，nv_i 就是你所说的频率。什么条件不能满足？请注意，值的特定索引与计算不同对的数量无关。您只需要知道给定长度nv_i 的值序列i 的存在。

【解决方案3】：

正如 Tim 在他的回复中指出的那样，在排序数组中查找对的复杂性是 O(n) 而不是 O(n^2)。

要让自己相信这一点，请考虑一个典型的 O(n^2) 算法：Insertion Sort。

可以在here找到一个动画示例。

正如你在 gif 中看到的，这个算法之所以是二次的，是因为对于每个元素，它必须检查整个数组以确保这些元素必须去哪里（这包括数组中的前一个元素！）。

另一方面，在您的情况下，您有一个有序数组：例如[0,1,3,3,6,7,7,9,10,10]

在这种情况下，您将从头开始（成对）扫描，并且（因为数组是有序的）您知道一旦扫描了一个元素并且您的指针继续进行，就没有任何理由重新扫描未来的以前的元素，否则你一开始就不会继续。

因此，您只扫描整个数组一次：O(n)

【讨论】：

这意味着我把第二部分的代码复杂度误认为是 O(N^2)。由于我的索引“j”总是大于索引“i”，因此不会重新扫描 0-i 的元素，复杂度实际上是 O(N) 。正确吗？
@SREEPRASADGOVINDANKUTTY 正确！

【解决方案4】：

你是部分正确的。通过合并排序或堆排序对数组进行排序将采用O(n lg n)。但是，一旦对数组进行了排序，您就可以通过一次遍历来找到所有相同的对。此单遍是O(n) 操作。所以总的复杂度是：

O(n lg n + n) = O(n lg n)

【讨论】：

我认为单次传递不会给出所有值，它会给我计算 sortedarray 中满足条件的所有顺序值。
在这个数组中找到相同的对有多难：[1, 5, 7, 7, 10, 13, 13, 20]？
蒂姆，你能否参考我的代码，我可能错过了你的观点，但我看不到第二部分的线性时间成本不变。
@SREEPRASADGOVINDANKUTTY 对数组进行排序后，您可以计算每个值在O(n) 中的数组中出现的次数，因为相等的值将是连续的。您可以轻松计算对数。看我的回答。